搜搜考试网（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 06:29:39
（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(
−1)(
−1)(
−1)≥8
（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c＝1，求证(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
证明：（1）要证a2+b2+c2＞ab+bc+ca，只需证2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca）
即证（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0，
因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）2＞0，（b+c）2＞0，（a+c）2＞0，
所以（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0显然成立．
所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(
1
a−1)(
1
b−1)(
1
c−1)＝
b+c
a•
a+c
b•
a+b
c≥
2
bc
a•
2
ac
b•
2
ab
c=8
当且仅当a=b=c=
1
3时等号成立．
即证（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0，
因为a，b，c是不全相等的实数，所以（a+b）2＞0，（b+c）2＞0，（a+c）2＞0，
所以（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0显然成立．
所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(
1
a−1)(
1
b−1)(
1
c−1)＝
b+c
a•
a+c
b•
a+b
c≥
2
bc
a•
2
ac
b•
2
ab
c=8
当且仅当a=b=c=
1
3时等号成立．
（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
已知实数a，b，c满足a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ）
已知实数a、b、c满足ab+bc+ca=1，求证：a2+b2+c2≥1．
(1)已知A,B,C为两两不相等的实数,求证：A平方+B平方+C平方>AB+BC+CA
已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的取值范围是
已知a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求证：a=b=c．
已知a-b=2,b-c=1代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为多少,
设△ABC的三条边为a，b，c，求证ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
已知a,b,c,d为实数,ad-bc=1,求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd不等于1 （最好用反证法）
已知,△ABC的三边a,b,c满足(a2+b2+c2-ab-bc-ca）（a2-b2-c2）=0
已知a,b,c为正实数,求(ab+3bc)/a2+b2+c2最大值
已知a-b=2,b-c=1,求a2.+b2+c2-ab-bc-ca的值