有谁知道斐波那挈数列的通项公式啊?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 19:59:45
有谁知道斐波那挈数列的通项公式啊?
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利用特征方程的办法(这个请自行参阅组合数学相关的书).
设斐波那契数列的通项为An.
(事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2,q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它)
然后记
Sn = A1 + A2 + ...+ An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1,S2 = 2,S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
(p,q值同An中的p,q).
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定.
设斐波那契数列的通项为An.
(事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2,q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它)
然后记
Sn = A1 + A2 + ...+ An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1,S2 = 2,S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
(p,q值同An中的p,q).
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定.