搜搜考试网怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 21:09:08
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?
我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几何思想与黎曼的思想
我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几何思想与黎曼的思想
问题前半部分太笼统,也不好回答,我来回答你的后半部分吧.一楼的回答不是很好,几何原本就是和坐标无关的,如果一个量和坐标选取有关,那压根就不是几何量.坐标是我们研究问题的工具,几何是我们要研究的问题,不能因为工具的不同而出现不同的研究结果.举例来说,两条直线相交有且仅有一个交点,这是个几何性质,但是你不论在什么坐标系下,这个都是对的.言归正传,内蕴几何其实是只与曲面的第一基本形式有关的几何,曲面有第一第二基本形式,并且这两个基本形式可以唯一确定曲面（当然,它们之间要满足三个方程）,内蕴几何则是要研究只有第一基本形式所决定的曲面几何性质.高斯的绝妙定理形象地说来就是“生活在球面上的蚂蚁如果足够理解内蕴几何,它也能知道自己生活的空间是什么样子的,而不需要借助我们外人的提示”,这里它们足够聪明就是指理解内蕴几何,借助我们外人的提示则是指通过第二基本形式.曲面上有一个重要的几何量叫高斯曲率,它的定义是用第一和第二类基本量来定义的,但是高斯通过繁琐的计算,得到这个量其实只和曲面的第一基本量有关,这就是高斯绝妙定理.现在有了张量的计算,这个定理的证明很简单了,最后高斯曲率正好等于R—{1212}除以第一基本量组成的行列式开根号,而这些量都是只和第一基本量有关,这就很简单证明的了高斯绝妙定理.这些你看随便一本微分几何书的“曲面的结构方程”都能找到.这就说明高斯曲率是内蕴量,就这一点,后来被黎曼发展成为“黎曼几何”,也就是研究黎曼流形只与第一基本形式有关的几何.形象地说,内蕴几何是生活在空间的人看自己,而第二基本形式有关的量则是外面的人看这个空间.
至于为什么叫“绝妙定理”,我有个不是很好的解释,当然有时候我也给学生讲讲.原本由第一第二基本量定义的东西后来发现和第二无关,这本身在数学上就是大家关心的问题,这样流形就可以脱离欧式空间的子流形而独立存在.我的解释是这样的：有个孩子后来发现没有爸爸也能生出来,难道大家不会给予足够的关注吗?
再问： 从高斯的曲面内蕴几何思想到黎曼几何在思想上跨越了几步？
再答： 新式上是维数上的推广，从二维的曲面到了流形，当然，也让几何对象流形脱离了欧式空间独立存在了。但是后来黎曼度量相关的流形的曲率和拓扑关系的发展也研究使得黎曼几何的研究内容大大扩充了，比如，在曲率方面，高维黎曼流形上曲率就丰富的多，而很多大的猜想都和此有关。
至于为什么叫“绝妙定理”,我有个不是很好的解释,当然有时候我也给学生讲讲.原本由第一第二基本量定义的东西后来发现和第二无关,这本身在数学上就是大家关心的问题,这样流形就可以脱离欧式空间的子流形而独立存在.我的解释是这样的：有个孩子后来发现没有爸爸也能生出来,难道大家不会给予足够的关注吗?
再问： 从高斯的曲面内蕴几何思想到黎曼几何在思想上跨越了几步？
再答： 新式上是维数上的推广，从二维的曲面到了流形，当然，也让几何对象流形脱离了欧式空间独立存在了。但是后来黎曼度量相关的流形的曲率和拓扑关系的发展也研究使得黎曼几何的研究内容大大扩充了，比如，在曲率方面，高维黎曼流形上曲率就丰富的多，而很多大的猜想都和此有关。