（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π4，0）

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 02:09:54

（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=
2π
T=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为(
π
4，0)，φ∈（0，π），
故f（
π
4）=sin（2×
π
4+φ）=0，得φ=
π
2，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移
π
2个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-
π
2）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（
π
6，
π
4）时，
1
2＜sinx＜

2
2，0＜cosx＜
1
2，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（
π
6，
π
4）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（
π
6，
π
4），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（
π
6，
π
4），
∴G′（x）＞0，G（x）在（
π
6，
π
4）内单调递增，
又G（
π
6）=-
1
4＜0，G（
π
4）=