已知数列an相邻两项an,an+1是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,a1=1.求证数列an-(1/3)*(
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 07:34:53
已知数列an相邻两项an,an+1是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,a1=1.求证数列an-(1/3)*(2^n)是等比数列,并求an的通项公式
an,a(n+1)是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,所以,an+a(n+1)=2^n.
所以,a(n+1)=2^n - an = 2^n - [ 2^(n-1) - a(n-1) ] = 2^n - 2^(n-1) + a(n-1) = 2^(n-1) + a(n-1).
a1=1,a2=2^1-a1=1,以下分奇偶数讨论.
1.当n=2k,为偶数时,
a(2k)=2^(2k-2) + a(2k-2) = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) + a(2k-4) = .
= 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^(2) + a2 = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^2 + 2^0
= Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-2) = Σ_(i=1) ^(k) 4^(i-1) = 1*(1-4^k) / (1-4) = (4^k - 1) /3
= [2^(2k) - 1] /3 = (2^n - 1) /3
2.当n=2k+1,为奇数时,
a(2k+1)=2^(2k-1) + a(2k-1) = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) + a(2k-3) = .
= 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^(1) + a1 = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^1 + 1
= 1+Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-1) =1 + 2*(1-4^k) / (1-4) =1+ 2 (4^k - 1) /3
= [2^(2k+1) + 1] /3 = (2^n + 1) /3
所以,an -(1/3)*(2^n) = 1/3 当n为奇数时,
= -1/3 当n为偶数时,
是公比为-1 的等比数列.
而an的通项公式为 an = (2^n + 1) /3 当n为奇数时,
= (2^n - 1) /3 当n为偶数时.
所以,a(n+1)=2^n - an = 2^n - [ 2^(n-1) - a(n-1) ] = 2^n - 2^(n-1) + a(n-1) = 2^(n-1) + a(n-1).
a1=1,a2=2^1-a1=1,以下分奇偶数讨论.
1.当n=2k,为偶数时,
a(2k)=2^(2k-2) + a(2k-2) = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) + a(2k-4) = .
= 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^(2) + a2 = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^2 + 2^0
= Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-2) = Σ_(i=1) ^(k) 4^(i-1) = 1*(1-4^k) / (1-4) = (4^k - 1) /3
= [2^(2k) - 1] /3 = (2^n - 1) /3
2.当n=2k+1,为奇数时,
a(2k+1)=2^(2k-1) + a(2k-1) = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) + a(2k-3) = .
= 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^(1) + a1 = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^1 + 1
= 1+Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-1) =1 + 2*(1-4^k) / (1-4) =1+ 2 (4^k - 1) /3
= [2^(2k+1) + 1] /3 = (2^n + 1) /3
所以,an -(1/3)*(2^n) = 1/3 当n为奇数时,
= -1/3 当n为偶数时,
是公比为-1 的等比数列.
而an的通项公式为 an = (2^n + 1) /3 当n为奇数时,
= (2^n - 1) /3 当n为偶数时.
已知数列an相邻两项an,an+1是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,a1=1.求证数列an-(1/3)*(
已知数列{an}的相邻两项an,a(n+1)是关于x的方程x^2-2^n+bn=0(n属于N*),且a1=1(1)求证数
数列an相邻的两项an,an+1,是关于x的方程x^2-2^nx+bn=0的两根,且a1=1.
实数数列{an}相邻两项an,an+1是方程x^2-Bn+(1/3)^n=0的两根,且a1=2 1)证明an+2/an为
已知数列{an}和{bn}.若数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x^2-2^nx+bn=0(n∈N*)的
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x^2-2^n x+bn=0(n属于N*)的两个根,a1=1
数列求和问题,已知数列{an}的相邻两项an,a(n+1)是关于x的方程x^2-(2^n)x+bn=0(n属于N*)的两
数列an中,a1=1,an\an+1是关于X的方程 X平方—(2n+1)x+1/Bn=0的两根,则数列Bn的前n项和Sn
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是方程x^2+3nx+Cn=0的两根,n属于N*,当a1=1时,求C1+C2+C
数列{an}中,an,an+1是方程x^2-(2n+1)+1/bn=0两根,则{bn}的前n项和Sn等于
已知数列{an}中,a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}中,bn*an=(-1)^n (n是正整数) (1)求数
在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和