（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/04 01:10:47

（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax²+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
（3）将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m（0≤m≤3

（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点，
∴

a−b+3＝0
9a+3b+3＝0，
解得

a＝−1
b＝2，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）方法一：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴GF=-（2t）²+4t+3-（-2t+3）=-4t²+6t，
当BD=GF时，由于BD∥GF，四边形BDFG是平行四边形，
∴-4t²+6t=3-t，
整理得，4t²-7t+3=0，
解得t₁=1，t₂=
3
4，
当t=1时，点D的坐标为（0，1），点F的坐标为（2，1），
点B的坐标为（0，3），
此时BD=BF，∠FDB=90°，
∴四边形BDFG是正方形；
当t=
3
4时，点D的坐标为（0，
9
4），点F的坐标为（
3
2，
3
2），∠FDB≠90°，
∴四边形BDFG不是正方形，
故，当t=1时，四边形BDFG是正方形；

方法二：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴点F的坐标为（2t，-2t+3），
若四边形BDFG是正方形，则DF⊥BD，DF=BF，
∴-2t+3=t，
解得t=1，

此时，点F的坐标为（2，1），点G的坐标为（2，3），
∴BD=FG=DF=BG=2，
∴四边形BDFG是正方形；

（3）∵B（0，3），C（3，0），
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图所示，①DF′在x轴上方时，0≤m＜
2，重叠部分矩形的宽=