已知,如图二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 16:52:59
已知,如图二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m), (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标; (2)点Q是线段AB上的一动点,过点Q作QE∥AD交BD于E,连结DQ,当△DQE的面积最大时,求点Q的坐标; (3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标. ![]() |
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(1)点D的坐标为(2,4).
(2)当t=1时,S △ DQE 有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
(3)满足条件的点N的坐标为N(
,0),点M的坐标为M(1,1).
试题分析:(1)根据点C(0,4),点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1可得关于a,b,c的方程组,解方程求得a,b,c的值,从而得到二次函数的解析式,再将点D(2,m)代入二次函数的解析式,得到关于m的方程,求得m的值,从而求解;
(2)先求得A,B点的坐标,过点E作EG⊥QB,根据相似三角形的判定和性质可得EG=
,由于S △ DQE =S △ BDQ -S △ BEQ ,配方后即可得到S △ DQE 有最大值时Q点的坐标;
(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
,得到四边形CFNM的最短周长为:2+2
时直线DF′的解析式为:y=3x-2,长而得到满足条件的点M和点N的坐标.
(1)由题意有:
,
解得:
.
所以,二次函数的解析式为:y=-
x 2 +x+4,
∵点D(2,m)在抛物线上,即m=-
×2 2 +2+4=4,
所以点D的坐标为(2,4).
(2)令y=0,即-
x 2 +x+4=0,解得:x 1 =4,x 2 =-2,
∴A,B点的坐标分别是(-2,0),(4,0),
如图1,过点E作EG⊥QB,垂足为G,设Q点坐标为(t,0),
∵QE∥AD,
∴△BEQ与△BDA相似,
∴
,即
,
∴EG=
,
∴S △ BEQ =
×(4-t)×
,
∴S △ DQE =S △ BDQ -S △ BEQ
=
×(4-t)×4-S △ BEQ
=2(4-t)-
(4-t) 2
=-
t 2 +
t+
=-
(t-1) 2 +3,
∴当t=1时,S △ DQE 有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
(3)由A(-2,0),D(2,4),可求得直线AD的解析式为:y=x+2,即点F的坐标为:F(0,2),
如图2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
,
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为:2+2
.
此时直线DF′的解析式为:y=3x-2,
所以存在点N的坐标为N(
,0),点M的坐标为M(1,1).
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/90/59086cf1fc1768c8b5dd81df84397911.jpg)
(2)当t=1时,S △ DQE 有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
(3)满足条件的点N的坐标为N(
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/36/636175c8307f4bc72b74eabd87b246a5.jpg)
试题分析:(1)根据点C(0,4),点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1可得关于a,b,c的方程组,解方程求得a,b,c的值,从而得到二次函数的解析式,再将点D(2,m)代入二次函数的解析式,得到关于m的方程,求得m的值,从而求解;
(2)先求得A,B点的坐标,过点E作EG⊥QB,根据相似三角形的判定和性质可得EG=
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/08/b0897a10688c50ddcab40a970b17da38.jpg)
(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/20/1202a48d91a0b3c846e148a098a659b0.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/20/1202a48d91a0b3c846e148a098a659b0.jpg)
(1)由题意有:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/51/351ae5aa2ce2fe18166d659e0da79209.jpg)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/60/6600ba45ba520fd46530070e5a0e4e2e.jpg)
所以,二次函数的解析式为:y=-
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ef/6efd253c7b5b12d136b0dbb6efa4be33.jpg)
∵点D(2,m)在抛物线上,即m=-
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ef/6efd253c7b5b12d136b0dbb6efa4be33.jpg)
所以点D的坐标为(2,4).
(2)令y=0,即-
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ef/6efd253c7b5b12d136b0dbb6efa4be33.jpg)
∴A,B点的坐标分别是(-2,0),(4,0),
如图1,过点E作EG⊥QB,垂足为G,设Q点坐标为(t,0),
∵QE∥AD,
∴△BEQ与△BDA相似,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/ea/2eabaeaf689c2a296ba5d6b5e5dc8c8d.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/17/917a7d1d2740836edce125ec69b103ff.jpg)
∴EG=
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/37/b375435293c717d50f49c472cc008840.jpg)
∴S △ BEQ =
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ef/6efd253c7b5b12d136b0dbb6efa4be33.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/37/b375435293c717d50f49c472cc008840.jpg)
∴S △ DQE =S △ BDQ -S △ BEQ
=
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ef/6efd253c7b5b12d136b0dbb6efa4be33.jpg)
=2(4-t)-
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/db/0db366f1c24c8f5dd5ee539aeb816c63.jpg)
=-
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/db/0db366f1c24c8f5dd5ee539aeb816c63.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/36/636175c8307f4bc72b74eabd87b246a5.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/9b/f9bebaae4fa198917402f1be58cfaae6.jpg)
=-
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/db/0db366f1c24c8f5dd5ee539aeb816c63.jpg)
∴当t=1时,S △ DQE 有最大值,所以此时Q点的坐标为(1,0);
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/91/4912f579951e386f9749a8146d8552d4.jpg)
(3)由A(-2,0),D(2,4),可求得直线AD的解析式为:y=x+2,即点F的坐标为:F(0,2),
如图2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,-2),再连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/20/1202a48d91a0b3c846e148a098a659b0.jpg)
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为:2+2
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/20/1202a48d91a0b3c846e148a098a659b0.jpg)
此时直线DF′的解析式为:y=3x-2,
所以存在点N的坐标为N(
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/36/636175c8307f4bc72b74eabd87b246a5.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/90/59086cf1fc1768c8b5dd81df84397911.jpg)
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如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,