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来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/14 15:30:44
2.已知函数f(x)=x - 1/2 ax^2 - ln(1+x),其中a属于R，求函数单调区间
解题思路： 先求导，对导数分解，然后分类讨论
解题过程：
函数f(x)的定义域x>-1.
y’=-x(ax-(1-a))/(1+x).
显然，1+x>0.
当a=0时,
f’(x)=x/(1+x)
x≥0，f(x)单增；-1＜x<0, f(x)单减。
当a≠0时,
f’(x)=-ax(x-(1-a)/a)/(1+x).
f’(x)有两个零点0和(1-a)/a，因为要讨论f’(x)的符号，所以需要分(1-a)/a=0, (1-a)/a>0,-1<(1-a)/a<0等三种情况讨论。
当(1-a)/a=0,a=1时,
f’(x)=-x²/(1+x)
x≥0，f(x)单减；-1＜x<0, f(x)单增。
当(1-a)/a>0,0<a<1时,
-1<x<0, 或x>(1-a)/a, f(x)单减；0≤x≤(1-a)/a，单增。
当-1<(1-a)/a<0,a>1时，
-1<x< (1-a)/a，或x>0，f(x)单减；(1-a)/a≤x≤0，单增。
最终答案：略
解题过程：
函数f(x)的定义域x>-1.
y’=-x(ax-(1-a))/(1+x).
显然，1+x>0.
当a=0时,
f’(x)=x/(1+x)
x≥0，f(x)单增；-1＜x<0, f(x)单减。
当a≠0时,
f’(x)=-ax(x-(1-a)/a)/(1+x).
f’(x)有两个零点0和(1-a)/a，因为要讨论f’(x)的符号，所以需要分(1-a)/a=0, (1-a)/a>0,-1<(1-a)/a<0等三种情况讨论。
当(1-a)/a=0,a=1时,
f’(x)=-x²/(1+x)
x≥0，f(x)单减；-1＜x<0, f(x)单增。
当(1-a)/a>0,0<a<1时,
-1<x<0, 或x>(1-a)/a, f(x)单减；0≤x≤(1-a)/a，单增。
当-1<(1-a)/a<0,a>1时，
-1<x< (1-a)/a，或x>0，f(x)单减；(1-a)/a≤x≤0，单增。
最终答案：略