如图，在组合体中，ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，

方法一：（Ⅰ）证明：因为 PD=PC=
2 ，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）
因为ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 是一个长方体，所以BC⊥面CC ₁ D ₁ D，
而P∈平面CC ₁ D ₁ D，所以PD⊂面CC ₁ D ₁ D，所以BC⊥PD．    （3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）过P点在平面CC ₁ D ₁ D作PE⊥CD于E，连接AE．…（5分）
因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．…（6分）
因为PE=1， AE=
10 ，所以 tan∠PAE=
PE
AE =
1
10 =
10
10 ．
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
10
10 ．…（8分）
（Ⅲ）当a=2时，PC ∥ 平面AB ₁ D．…（9分）
当a=2时，四边形CC ₁ D ₁ D是一个正方形，所以∠C ₁ DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC ₁ =90°，所以C ₁ D⊥PD．…（10分）
而PC⊥PD，C ₁ D与PC在同一个平面内，所以PC ∥ C ₁ D．…（11分）
而C ₁ D⊂面AB ₁ C ₁ D，所以PC ∥ 面AB ₁ C ₁ D，所以PC ∥ 平面AB ₁ D． …（12分）
方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA ₁ =a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）
于是
PD =(0，-1，-1) ，
PB =(3，1，-1) ，
PC =(0，1，-1) ，所以
PD •
PB =0 ，
PD •
PC =0 ．…（3分）


所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）
（Ⅱ）A（3，0，a），所以
PA =(3，-1，-1) ，而平面ABCD的一个法向量为
n 1 =(0，0，1) ．…（5分）
所以 cos＜
PD ，
n 1 ＞=
-1
11 ×1 =-
11
11 ．…（6分）
所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为
11
11 ． …（7分）
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
10
10 ．…（8分）
（Ⅲ）B ₁ =（3，2，0），所以
DA =(3，0，0) ，
A B 1 =(0，2，-a) ．
设平面AB ₁ D的法向量为
n 2 =(x，y，z) ，则有

DA •
n 2 =3x=0

A B 1 •
n 2 =2y-az=0 ，
令z=2，可得平面AB ₁ D的一个法向量为
n 2 =(0，a，2) ．  …（10分）
若要使得PC ∥ 平面AB ₁ D，则要
PC ⊥
n 2 ，即
PC •
n 2 =a-2=0 ，解得a=2．…（11分）
所以当a=2时，PC ∥ 平面AB ₁ D．  …（12分）