搜搜考试网圆中为什么三角形面积最大时是等边三角形,为什么
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 20:16:09
圆中为什么三角形面积最大时是等边三角形,为什么
这个可以证明的比较麻烦,平时记住就可以了,选择填空题目可以直接用进去.
【圆心O及就是三角形的外心,外心到三边三个顶点距离相等（因为圆上的半径处处相等）.
又因为是等边三角形,所以AD是三角的角平分线,也是中线和高.（“三线合一定理”）】
设BD=1,即BC=AB=2
∵AD⊥BC（“三线合一”）
∴AD=√3（勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方）
∴S△ABC=1/2×AD×BC=1/2×√3×2=√3
连接OB
∵O为圆心,及OA=OB=R（半径）
∴OB+OD=AD
设OD为X,利用勾股定理建立方程式：X的平方×1的平方=（√3—X）的平方
解得：X=√3/3（三分之根号三）
∴半径R=√3—√3/3=2√3/3（三分之二倍根号三）
∴S△ABC：R=√3：2√3/3=3：2
∴R=2/3 S△ABC
(但愿我没解答错,很久没答过这种题了.)
追问：
似乎错了样.那么我主要是想知道你如何说明圆中内接等边三角形面积最大,而不是等腰直角三角形或是其他三角形.
回答：
连接内接等腰三角形三个顶点到圆心
设A是顶点,B,C在底边上,圆半径为R
则三点到圆心等距
设角AOB=X
则S三角形
=(1/2*R^2*sinx)*2+(1/2*R^2*sin(2*pi-x))
=(1/2*R^2)*(2sinx+sin(2*pi-2x)
乘号左边是个常数,所以求右边极值
设y=2sinx+sin(2*pi-2x)
求导得y'=2cos(x)-2cos(2x)
令y'=0,并且因为0
【圆心O及就是三角形的外心,外心到三边三个顶点距离相等（因为圆上的半径处处相等）.
又因为是等边三角形,所以AD是三角的角平分线,也是中线和高.（“三线合一定理”）】
设BD=1,即BC=AB=2
∵AD⊥BC（“三线合一”）
∴AD=√3（勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方）
∴S△ABC=1/2×AD×BC=1/2×√3×2=√3
连接OB
∵O为圆心,及OA=OB=R（半径）
∴OB+OD=AD
设OD为X,利用勾股定理建立方程式：X的平方×1的平方=（√3—X）的平方
解得：X=√3/3（三分之根号三）
∴半径R=√3—√3/3=2√3/3（三分之二倍根号三）
∴S△ABC：R=√3：2√3/3=3：2
∴R=2/3 S△ABC
(但愿我没解答错,很久没答过这种题了.)
追问：
似乎错了样.那么我主要是想知道你如何说明圆中内接等边三角形面积最大,而不是等腰直角三角形或是其他三角形.
回答：
连接内接等腰三角形三个顶点到圆心
设A是顶点,B,C在底边上,圆半径为R
则三点到圆心等距
设角AOB=X
则S三角形
=(1/2*R^2*sinx)*2+(1/2*R^2*sin(2*pi-x))
=(1/2*R^2)*(2sinx+sin(2*pi-2x)
乘号左边是个常数,所以求右边极值
设y=2sinx+sin(2*pi-2x)
求导得y'=2cos(x)-2cos(2x)
令y'=0,并且因为0
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