证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 16:30:03

n = 3是唯一的正整数n使其为完全平方数.
这种题目的一种证明思路是证明其夹在两个相邻的完全平方数之间.
若n是偶数,取正整数m = n^2+n/2.
有m^2 = n^4+n^3+n^2/4 < n^4+n^3+n^2+n+1.
而(m+1)^2 = m^2+2m+1 = n^4+n^3+9n^2/4+n+1 > n^4+n^3+n^2+n+1.
即n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间,不是完全平方数.
若n > 3是奇数,取正整数m = n^2+(n-1)/2.
m^2 = n^4+n^3-3n^2/4-n/2+1/4 < n^4+n^3+n^2+n+1
(m+1)^2 = n^4+n^3+5n^2/4+n/2+1/4 = (n^4+n^3+n^2+n+1)+(n^2-2n-3)/4.
由n > 3,(n^2-2n-3)/4 = (n-3)(n+1)/4 > 0,于是(m+1)^2 > n^4+n^3+n^2+n+1.
故n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间,不是完全平方数.
最后代入n = 1,3,得n = 3时n^4+n^3+n^2+n+1 = 121为完全平方数.
再问：真厉害！可是，另外一个同学的做法是哪里错了呢？
再答：第一步假设错了, 未必能表示为(n^2+an+1)^2. 此外比较系数的做法也不能用. 应该是把多项式相等和数值相等弄混了. 举个例子. 关于x的多项式x^2+ax+1若是完全平方式, 则可表示成(x±1)^2 (即有a = ±2). 这里是多项式相等, 即x^2+ax+1 = (x±1)^2是恒等式, 对任意x成立. 但是比如a = 10, x^2+10x+1虽然不是完全平方式, 但是取值还是可以为完全平方数. 例如x = 2时, 取值25就是完全平方数. x = 2使x^2+10x+1 = (x+3)^2成立, 但这不是恒等式, 不能比较系数.
再问： http://zhidao.baidu.com/question/523802868?quesup2&oldq=1 此题我做出了第一问，但是第二问不知道。。。。您能看看嘛？谢谢!

1、已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值；如果已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存 1）：已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值,如已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在请求出所有n的值；如果n是正整数,证明n^3+n^2+n不是完全平方数证明n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)是一个完全平方数证明（n-2)n(n+1)(n+3)+9(n为正整数）是完全平方数证明：对任意自然数n,代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数 n是正整数,3n+1是完全平方数,证明：n+1是3个完全平方数之和. 证明:对任意正整数n(n+1)(n+2)(n+3)+1都是这个完全平方数若n是正整数,证明：n²+n+1不是完全平方数怎么做啊. 求所有的正整数,使得n^4-4n^3+22n^2-36n+18是一个完全平方数