为什么可以两边求导和积分?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 13:10:38
为什么可以两边求导和积分?
两边求导和积分有什么条件吗?等式两边未知量必须一样?(不能1边为x一边为y?)必须是恒等式(恒等式两边的未知量是不是必须一样啊?)
两边求导和积分有什么条件吗?等式两边未知量必须一样?(不能1边为x一边为y?)必须是恒等式(恒等式两边的未知量是不是必须一样啊?)
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又问到了一个本质问题!
下面分两种情况解释:
第一种情况是:函数恒等式
例如 cos2x = cos²x - sin²x,因为等式两边是恒等关系,两边同时求导,
其实是对同一个函数求导,只是这个函数有两种写法而已.
如果对两边同时积分,只要积分的上下限相同,结果是一样的.
第二种情况是:函数的展开式,例如 sinx = x - x³/3!+ .
因为这个等式只有在取极限的情况下,才严格成立.
使展开式成立的区间,我们称为收敛域.
在收敛域内求导自然不成问题,两边的结果一样.
但是积分时,就得小心了,除了积分区域必须相同之外,还得考虑在积分后,
代入下限时,是否收敛.否则,要么积不出,要么有一个常数差.
也就是说,求导时不必考虑收敛域,大胆求导;
积分时必须考虑收敛域,小心积分.
一般来说,两边必须是一样的变量,要么都是x,要么都是y.
但是,如果是二元函数展开的话,譬如sin(x+y)同样可以泰勒展开,
两边同样可以分别对x或一求导,分别对x或y积分.由于一般专业
都不可能学二元函数、多元函数的泰勒展开,一般情况下都是一元
函数,两边的变量必须一致.
再问: 我们学了二元函数了,你再讲讲吧,还有物理中不是两边变量不痛的吗,怎么也可以两边积分呢
再答: 举例来说:; dv = a dt,v:速度,a:加速度;t:时间 这是微分形式,是当△t→0的形式,为了便于理解,用增量形式写出来就是: v₁- v。= a ( t₁- t。) v₂- v₁= a ( t₂- t₁) v₃- v₂= a ( t₃- t₂) v₄- v₃= a ( t₄- t₃) 、、、、、、、、、 上面所有的式子加起来,左边就是对v积分,右边就是对t积分。 再举两个例子: 1、电量:dq = Idt,左边是对电量积分,此电量的积分可以联系到电容,右边对时间积分; 2、高斯定理:左侧是电场强度通量对空间的曲面积分,右侧是电荷密度度对空间的体积分。 科学中、工程中,这样的例子千千万万,无法列举,两边的变量不同才是常事,才具有 真正的物理意义,如果两边的变量一样,那一般都是没有物理意义的纯数学题。
再问: 两边变量不同的话你就不能保证两边相等了啊,就不是恒等式了
再答: 看来,你应该被你的数学老师严重误导了: 1、积分不是对恒等式积分,恒等式的两边是一样的含义,只是表达式不同, 在物理意义上没有区别,积分的结果只能作为数学游戏,练习练习积分 的技巧而已。实际的微积分应用题并不是对恒等式积分。 2、真正的积分,是根据物理意义积分的。首先是是根据物理上的方程、 化学上的方程、工程中的方程积分。 譬如:
下面分两种情况解释:
第一种情况是:函数恒等式
例如 cos2x = cos²x - sin²x,因为等式两边是恒等关系,两边同时求导,
其实是对同一个函数求导,只是这个函数有两种写法而已.
如果对两边同时积分,只要积分的上下限相同,结果是一样的.
第二种情况是:函数的展开式,例如 sinx = x - x³/3!+ .
因为这个等式只有在取极限的情况下,才严格成立.
使展开式成立的区间,我们称为收敛域.
在收敛域内求导自然不成问题,两边的结果一样.
但是积分时,就得小心了,除了积分区域必须相同之外,还得考虑在积分后,
代入下限时,是否收敛.否则,要么积不出,要么有一个常数差.
也就是说,求导时不必考虑收敛域,大胆求导;
积分时必须考虑收敛域,小心积分.
一般来说,两边必须是一样的变量,要么都是x,要么都是y.
但是,如果是二元函数展开的话,譬如sin(x+y)同样可以泰勒展开,
两边同样可以分别对x或一求导,分别对x或y积分.由于一般专业
都不可能学二元函数、多元函数的泰勒展开,一般情况下都是一元
函数,两边的变量必须一致.
再问: 我们学了二元函数了,你再讲讲吧,还有物理中不是两边变量不痛的吗,怎么也可以两边积分呢
再答: 举例来说:; dv = a dt,v:速度,a:加速度;t:时间 这是微分形式,是当△t→0的形式,为了便于理解,用增量形式写出来就是: v₁- v。= a ( t₁- t。) v₂- v₁= a ( t₂- t₁) v₃- v₂= a ( t₃- t₂) v₄- v₃= a ( t₄- t₃) 、、、、、、、、、 上面所有的式子加起来,左边就是对v积分,右边就是对t积分。 再举两个例子: 1、电量:dq = Idt,左边是对电量积分,此电量的积分可以联系到电容,右边对时间积分; 2、高斯定理:左侧是电场强度通量对空间的曲面积分,右侧是电荷密度度对空间的体积分。 科学中、工程中,这样的例子千千万万,无法列举,两边的变量不同才是常事,才具有 真正的物理意义,如果两边的变量一样,那一般都是没有物理意义的纯数学题。
再问: 两边变量不同的话你就不能保证两边相等了啊,就不是恒等式了
再答: 看来,你应该被你的数学老师严重误导了: 1、积分不是对恒等式积分,恒等式的两边是一样的含义,只是表达式不同, 在物理意义上没有区别,积分的结果只能作为数学游戏,练习练习积分 的技巧而已。实际的微积分应用题并不是对恒等式积分。 2、真正的积分,是根据物理意义积分的。首先是是根据物理上的方程、 化学上的方程、工程中的方程积分。 譬如:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/b7/5b79a6e31f3052f41a5251b1e1151163.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/a6/1a622f7f3d85441927d319330c2e4866.jpg)
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