闭区间套定理的一个问题

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 15:11:57

闭区间套定理的一个问题
闭区间套定理闭区间[a,b],区间套里每个区间都包含了区间里面的无穷多个点,与只有唯一一个点属于[an,bn],n=1,2,3,...是否矛盾.

不矛盾.
区间套里每个区间都是确定的,比如[ai,bi](脚标i为一个正整数）,它包含了无穷多个点,且这些点都在[a,b]内.
‘只有唯一一个点属于[an,bn],n=1,2,3,...’可这样考虑：设这点为c,在[a,b]任选一点d≠c,则总能找到足够大的n,使得区间[an,bn]的半径小于│d-c│/2,所以点d就不在[an,bn]内.即只有唯一一个点c属于[an,bn],n=1,2,3,...
再问：谢谢，但无论n怎样大，我都能找到在c 旁边有一点也是属于[an,bn]。觉得数学这些极限的思想就是到这里了，似乎争论没有意义，我们人为的逻辑认为在无穷大时候就是能够确定的，这样能够使很多其它理论成立。也可能是我还没有理解到。
再答：区间套这里n是无限多个，你可以“找到在c 旁边有一点也是属于[an,bn]”，但是n后面总会有一个更大的n'使得这一点在[an',bn']之外。实数理论是在19世纪才建立的高等数学基石性理论。它的建立是为了理论的严密，而不是为了应用。我们念大学时老师说，极限的深入理论解放前北大只要求1/5的学生掌握。我认为，你能这样已经很不错了。如果不念数学专业研究生，就可以不探究了。祝你进步、发展、成功！

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