求证高等代数!求证反射变化是可对角化的,且n=2时任何正交变化可写为不超过两个反射变换的乘积

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 07:48:48

求证高等代数!求证反射变化是可对角化的,且n=2时任何正交变化可写为不超过两个反射变换的乘积
V=R^n是带有标准内积（a,b)的n维欧几里德空间,a是V中任意给定向量
V的反射变化f如下：
f(b)=b-2[(b,a)/(a,a)]*a ,b属于V
求证反射变化是可对角化的,且n=2时任何正交变化可写为不超过两个反射变换的乘积

这个结合几何直观证明其实不难.
直观上反射变换应该有个维数(n-1)的"镜面"是不动的,即属于1的特征子空间.
另有一个与之正交的反射方向,是属于-1的特征子空间.
由此观察可得证明如下:
首先,易验证f是线性变换.
对a ≠ 0,有f(a) = a - 2a = -a,即a是属于-1的特征向量.
考虑a的正交补空间W = {b∈V|(a,b) = 0},则W的维数是n-1.
且对任意b∈W,f(b) = b,即W包含于1的特征子空间.
取a以及W的一组基,由不同特征值的特征向量线性无关,我们得到f的n个线性无关的特征向量.
于是f可对角化.
n = 2时,设A为正交矩阵.由A'A = E,有|A'| = |A| = ±1.
若|A| = -1,有|E+A| = -|A'+A'A| = -|E+A'| = -|E+A|,得|E+A| = 0,∴-1是A的特征值.
|E-A| = -|A'-A'A| = -|A'-E| = -|E-A|·(-1)^n = -|E-A|,得|E-A| = 0,∴1是A的特征值.
取特征向量a,b,Aa = -a,Ab = b.有(a,b) = (Aa,Ab) = -(a,b),(a,b) = 0.
取f为a方向的反射,可验证f(a) = Aa,f(b) = Ab,a,b是一组基,故A就是反射变换f的矩阵.
若|A| = 1.取B =
1 0
0 -1
有B为正交阵且|B| = -1,并有B² = E.于是AB也为正交阵且|AB| = -1.
由前所证B,AB均为反射变换的矩阵,A = AB² = (AB)·B为两个反射变换的复合的矩阵.证毕.

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