（2006•海淀区一模）如图，椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/06 16:57:42
（2006•海淀区一模）如图，椭圆
| x
（Ⅰ）∵椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），
∴A（
a2
c，0），F（c，0），B（0，b），P（c，
b2
a），
∵
FD＝
DP，∴D为FP的中点，∴D（c，
b2
2a）．
∵
AD＝λ
DB，∴D在线段AB上，
∵直线AB的方程为：
x
a2
c+
y
b＝1．
∴c•
c
a2+
1
b•
b2
2a＝1，化简得：3a2=4c2，∴e=
3
2；
（Ⅱ）直线MN与x轴交于定点（
3，0）．
证明：∵椭圆的长轴长等于4，∴a=2，b=1，c=
3．
设直线QA1和QA2的斜率分别为k1，k2，则
由
x2+4y2−4＝0
y＝k1(x+2)，得(1+4k12)x2+16k12x+16k12−4＝0．
解得：xM＝
2−8k12
1+4k12，yM＝
4k1
1+4k12．
由
x2+4y2−4＝0
y＝k2(x−2)，得(1+4k22)x2−16k22x+16k22−4＝0
解得xN＝
8k22−2
1+4k22，yN＝−
4k2
1+4k22．
直线MN的方程为
y−yN
yM−yN＝
x−xN
xM−xN，令y=0
得x＝
xN•yM−xM•yN
yM−yN，化简得x=2×
k2−k1
k1+k2．
∴yQ＝k1(
4
3+2)＝k2(
4
3−2)
∴
k1
k2＝7−4
3．
k2−k1
k1+k2＝−
k1
k2−1
k1
k2+1＝
3
2．
x=2×
3
2＝
3．
即直线MN与x轴交于定点（
3，0）．
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