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(2012•蚌埠模拟)已知函数f(x)=2xx+1,数列{an}满足a1=2,且an=12f(an−1)(n∈N*,n≥

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/07 01:50:17
(2012•蚌埠模拟)已知函数f(x)=
2x
x+1
(2012•蚌埠模拟)已知函数f(x)=2xx+1,数列{an}满足a1=2,且an=12f(an−1)(n∈N*,n≥
(1)证明:由题意可得 an=
an−1
an−1+1,∴
1
an=1+
1
an−1,∴{
1
an}是以1为公差的等差数列.
(2)由(1)可得
1
an=
1
2+(n-1)×1=
2n−1
2,∴an=
2
2n−1.
故Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 =4×
1
1×3+4×
1
3×5+4×
1
5×7+…+4×
1
(2n−1)(2n+1) 
=4[1-
1
3+
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n−1-
1
2n+1]=4×(1-
1
2n+1)=
4n
2n+1.