f(x)=sinx+cosx+1的最小值怎么求?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 06:32:38

f(x)=sinx+cosx+1的最小值怎么求?
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现在提供两种方法给你：
方法一：利用辅助角法化简公式寻求最小值（高中生推荐）
f(x)=sinx+cosx+1=√2sin(x+π/4)+1,
显然当sin(x+π/4)=-1时,f(x)取最小值.
所以当x=-3π/4+2nπ时(n∈Z),f(x)取最小值,为：f(x)=1-√2
方法二：利用求导寻求最小值
∵df(x)/dx=cosx-sinx
∴令df(x)/dx=0得：
cosx-sinx=0
=> tanx=1
=> x=π/4+nπ (n∈Z)
有∵d/dx(df(x)/dx)=-sinx-cosx (因为输入法无法输出标准的二阶导数的写法,故这里用两次d/dx表示）
为了表示方便,记二阶导数为g(x),即g(x)=d/dx(df(x)/dx)=-sinx-cosx
又∵g(π/4+2nπ)=-sin(π/4+2nπ)-cos(π/4+2nπ)=-√20
∴当x=π/4+2nπ时,f(x)取极大值,易知也为最大值
当x=-3π/4+2nπ时,f(x)取极小值,易知也为最小值
∴当x=-3π/4+2nπ时（n∈Z),f(x)取最小值,为：1-√2

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