搜搜考试网二次函三角函等综合题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 00:01:15
抛物线y=½x2-3X+c交x轴正半轴于A.B两点,交y轴于c点.过A.B.C三点作⊙D.若⊙D与y轴相切. 1)求c的值 2)连接AC.BC.设∠ACB.求tanα的值 3)设抛物线顶点为P.判断直线PA与⊙D的位置关系,并证明. 附件为图
解题思路： 根据圆和抛物线的对称性可知：圆心D必在抛物线的对称轴上，因此D的横坐标与抛物线的对称轴的值相同，可根据抛物线的解析式求出对称轴的值即可得出D点的横坐标，由于圆D和y轴相切，因此D的横坐标就是圆的半径．
解题过程：
解：（1）连接DC，作AB的垂直平分线MN，交AB于E，连接DA．
∵⊙D经过点C且与y轴相切
∴⊙D与y轴相切于点C
∴DC⊥y轴
∵⊙D和抛物线都经过点A、B
∴MN经过点D、P
∴MN是抛物线的对称轴
由y= 1/2x2-3x+c知：
对称轴是x=3；令x=0得y=c．
∴点C坐标为（0，c），点D坐标为（3，c），
⊙D的半径为3
由y= 1/2x2-3x+c知，
令y=0得 1/2x2-3x+c=0
解得：x1=3+ √9-2c，x2=3- √9-2c
∴点A坐标为（3+ √9-2c，0）
点B坐标为（3- √9-2c，0）
∴AE= 1/2（OB-OA）= 1/2[（3+ √9-2c）-（3- √9-2c）]= √9-2c
∵AE2+DE2=DA2
∴（√9-2c ）2+c2=9
∴c2-2c=0
解得 c=0（不符题意舍）或c=2．
∴c=2．
（2）延长AD交圆于点F，连接BF．
∵AF是⊙D的直径
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2 √5，AF=6，
∴BE= √AF2-AB2==4．
∴tan∠F= AB/BF= 2√5/4= √5/2
∵∠ACB与∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα= √5/2
（3）判断：直线PA与⊙D相切．
连接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE= √9-2C= √5
易知：顶点P坐标为（3， -5/2）
PA2=AE2+PE2=5+ 25/4= 45/4
又：PD2=（DE+EP）2=（2+ 5/2）2= 81/4，DA2=32=9
∵9+ 45/4=81/4
∴在△DAP中，DA2+PA2=PD2
∴△DAP为直角三角形，∠DAP=90°，点A在圆上
∴PA与⊙D相切
如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快。（图请见附件）
最终答案：略
解题过程：
解：（1）连接DC，作AB的垂直平分线MN，交AB于E，连接DA．
∵⊙D经过点C且与y轴相切
∴⊙D与y轴相切于点C
∴DC⊥y轴
∵⊙D和抛物线都经过点A、B
∴MN经过点D、P
∴MN是抛物线的对称轴
由y= 1/2x2-3x+c知：
对称轴是x=3；令x=0得y=c．
∴点C坐标为（0，c），点D坐标为（3，c），
⊙D的半径为3
由y= 1/2x2-3x+c知，
令y=0得 1/2x2-3x+c=0
解得：x1=3+ √9-2c，x2=3- √9-2c
∴点A坐标为（3+ √9-2c，0）
点B坐标为（3- √9-2c，0）
∴AE= 1/2（OB-OA）= 1/2[（3+ √9-2c）-（3- √9-2c）]= √9-2c
∵AE2+DE2=DA2
∴（√9-2c ）2+c2=9
∴c2-2c=0
解得 c=0（不符题意舍）或c=2．
∴c=2．
（2）延长AD交圆于点F，连接BF．
∵AF是⊙D的直径
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2 √5，AF=6，
∴BE= √AF2-AB2==4．
∴tan∠F= AB/BF= 2√5/4= √5/2
∵∠ACB与∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα= √5/2
（3）判断：直线PA与⊙D相切．
连接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE= √9-2C= √5
易知：顶点P坐标为（3， -5/2）
PA2=AE2+PE2=5+ 25/4= 45/4
又：PD2=（DE+EP）2=（2+ 5/2）2= 81/4，DA2=32=9
∵9+ 45/4=81/4
∴在△DAP中，DA2+PA2=PD2
∴△DAP为直角三角形，∠DAP=90°，点A在圆上
∴PA与⊙D相切
如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快。（图请见附件）
最终答案：略