搜搜考试网（2014•山西模拟）某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够多，不
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/06 10:06:38
（2014•山西模拟）某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够多，不重复抽取．比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5，6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲．通过关卡与对应的奖金如右表所示．选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金．
（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率．
①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？
②在比赛前，甲计划若能通过第1，2，3关的任意一关，则继续；若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；
（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p，且他已经顺利通过前6关，当p满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？
| 关卡 | 关卡奖金/元 | 累计奖金/元 |
| 1 | 1000 | 1000 |
| 2 | 2000 | 3000 |
| 3 | 3000 | 6000 |
| 4 | 4000 | 10000 |
| 5 | 8000 | 18000 |
| 6 | 12000 | 30000 |
| 7 | 20000 | 50000 |
①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？
②在比赛前，甲计划若能通过第1，2，3关的任意一关，则继续；若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；
（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p，且他已经顺利通过前6关，当p满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？
（Ⅰ）①比赛中，甲已顺利通过前5关，他闯过第6关的概率是
1
5•
40
50+
4
5•
2
40=
1
5；
②设甲获得奖金为X元，则P（X=0）=1-(
4
5)4，P（X=10000）=(
4
5)4，
∴EX=0×[1-(
4
5)4]+10000×(
4
5)4=4096；
（Ⅱ）他已经顺利通过前6关，可获奖金30000元，
设他选择继续闯第7关，可获奖金Y元，则P（Y=0）=1-p，P（Y=50000）=p，
∴EY=50000p，
令50000p＞30000，则p＞
3
5，
即p＞
3
5时，选择继续闯第7关更有利．
1
5•
40
50+
4
5•
2
40=
1
5；
②设甲获得奖金为X元，则P（X=0）=1-(
4
5)4，P（X=10000）=(
4
5)4，
∴EX=0×[1-(
4
5)4]+10000×(
4
5)4=4096；
（Ⅱ）他已经顺利通过前6关，可获奖金30000元，
设他选择继续闯第7关，可获奖金Y元，则P（Y=0）=1-p，P（Y=50000）=p，
∴EY=50000p，
令50000p＞30000，则p＞
3
5，
即p＞
3
5时，选择继续闯第7关更有利．
（2014•山西模拟）某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够多，不
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（2014•山西模拟）
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