在如图所示的几何体中,三角形ABC是边长为2的正三角形,AE大于1,AE垂直平面ABC,平面BCD垂直平面ABC,BD等

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 02:28:23

在如图所示的几何体中,三角形ABC是边长为2的正三角形,AE大于1,AE垂直平面ABC,平面BCD垂直平面ABC,BD等于CD,且BD垂直CD

在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．是这题吗
（1）取BD的中点M,连接DM、AM,由已知BD=CD,可得：DM⊥BC,
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,
所以DM⊥平面ABC,
因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,
又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,
所以AE∥平面BCD
（2）由（1）知AE∥DM,又AE=1,CM=1,
所以四边形DMAE是平行四边形,则有DE∥AM,
由（1）得DM⊥AM,又AM⊥BC,
∴AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,
又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD,
由已知BD⊥CD,DE∩BD=D,
∴CD⊥平面BDE,
因为CD⊂平面CDE,
所以平面BDE⊥平面CDE
（3）∵BC⊥DM,BC⊥AM,DM∩AM=M,
∴BC⊥平面AEDM,
AM=根号3,DM=1
易得四边形AEDM为矩形其面积S=根号3
故该几何体的体积V=VC-AEDM+VB-AEDM=1/3×S×BC＝2×根号3/3