搜搜考试网已知X∈(0,1/2),求函数f(x)=2/x+9/(1-2x)的最小值
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 05:53:21
已知X∈(0,1/2),求函数f(x)=2/x+9/(1-2x)的最小值
用高二不等式解决！！！！！！！
用高二不等式解决！！！！！！！
可以由导数运算法则求得
f(x)的导数f'(x)=2(x+1)(5x-1)/[(x-2x^2)^2]
当x∈(0,1/5)时,f'(x)0,函数在该区间上递增
由以上三点可知,函数在(0,1/2)上的最小值就是f(1/5)=25
好吧既然你要用不等式的话那我也只能写出来了
首先把f(x)拆开,得到f(x)=3/(1-2x)+3/(1-2x)+3/(1-2x)+1/x+1/x
根据题中x的取值范围可知3/(1-2x)与1/x均大于0,所以可以使用均值不等式.
先介绍一下均值不等式：若A1、A2、A3……An均为正数,则有
n/(1/A1+1/A2+1/A3+……+1/An)≤(A1*A2*A3*……*An)^(1/n)≤(A1+A2+A3+……+An)/n≤√[(A1^2+A2^2+A3^2+……+An^2)/2]
其中第一个式子叫调和平均,第二个式子叫几何平均,第三个式子叫算术平均,第四个式子叫平方平均.在这里要使用的是调和平均与算术平均的关系.当且仅当A1=A2=A3=……An的时候所有等号成立
由调和平均≤算术平均可得：
5/[3/(1-2x)+3/(1-2x)+3/(1-2x)+1/x+1/x]≤[(1-2x)/3+(1-2x)/3+(1-2x)/3+x+x]=1/5
所以5/f(x)≤1/5
等号成立的条件是1/x=3/(1-2x) 即x=1/5
因为f(x)>0
所以25≤f(x)
等号成立的条件是x=1/5
f(x)的导数f'(x)=2(x+1)(5x-1)/[(x-2x^2)^2]
当x∈(0,1/5)时,f'(x)0,函数在该区间上递增
由以上三点可知,函数在(0,1/2)上的最小值就是f(1/5)=25
好吧既然你要用不等式的话那我也只能写出来了
首先把f(x)拆开,得到f(x)=3/(1-2x)+3/(1-2x)+3/(1-2x)+1/x+1/x
根据题中x的取值范围可知3/(1-2x)与1/x均大于0,所以可以使用均值不等式.
先介绍一下均值不等式：若A1、A2、A3……An均为正数,则有
n/(1/A1+1/A2+1/A3+……+1/An)≤(A1*A2*A3*……*An)^(1/n)≤(A1+A2+A3+……+An)/n≤√[(A1^2+A2^2+A3^2+……+An^2)/2]
其中第一个式子叫调和平均,第二个式子叫几何平均,第三个式子叫算术平均,第四个式子叫平方平均.在这里要使用的是调和平均与算术平均的关系.当且仅当A1=A2=A3=……An的时候所有等号成立
由调和平均≤算术平均可得：
5/[3/(1-2x)+3/(1-2x)+3/(1-2x)+1/x+1/x]≤[(1-2x)/3+(1-2x)/3+(1-2x)/3+x+x]=1/5
所以5/f(x)≤1/5
等号成立的条件是1/x=3/(1-2x) 即x=1/5
因为f(x)>0
所以25≤f(x)
等号成立的条件是x=1/5
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