已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 03:41:34
已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)
1.用tanα表示tanβ
2.求tanβ的最大值
1.用tanα表示tanβ
2.求tanβ的最大值
1.∵sinβ=sinαcos(α+β)
∴sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴sinβ=sinαcosαcosβ-sin^2αsinβ
∴sinβ(1+sin^2α)=sinαcosαcosβ.两边除以cosβ
∴tanβ=(sinαcosα)/(1+sin^2α).分数线上下除以cos^2α
∴tanβ=tanα/((1/cos^2α)+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(sec^2α+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
综上所述:tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
2.∵α∈(0,π/2)
∴tanα∈(0,+∞)
∵ tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
∴tanα=1/((1/tanα)+2tanα)
设A=(1/tanα)+2tanα
∴A=(1/tanα)+2tanα≥2(√(2tanα (1/tanα)))=2√2
当且仅当1/tanα=2tanα 时取等号,即tanα=(√2)/2
∵α∈(0,π/2)
即α=π/4时取等号
∴1/A≤(√2)/4
即tanβ≤(√2)/4
综上所述:当α=π/4时tanβ取最大值,最大值为(√2)/4
∴sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴sinβ=sinαcosαcosβ-sin^2αsinβ
∴sinβ(1+sin^2α)=sinαcosαcosβ.两边除以cosβ
∴tanβ=(sinαcosα)/(1+sin^2α).分数线上下除以cos^2α
∴tanβ=tanα/((1/cos^2α)+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(sec^2α+tan^2α)
∴tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
综上所述:tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
2.∵α∈(0,π/2)
∴tanα∈(0,+∞)
∵ tanβ=tanα/(1+2tan^2α)
∴tanα=1/((1/tanα)+2tanα)
设A=(1/tanα)+2tanα
∴A=(1/tanα)+2tanα≥2(√(2tanα (1/tanα)))=2√2
当且仅当1/tanα=2tanα 时取等号,即tanα=(√2)/2
∵α∈(0,π/2)
即α=π/4时取等号
∴1/A≤(√2)/4
即tanβ≤(√2)/4
综上所述:当α=π/4时tanβ取最大值,最大值为(√2)/4
已知α,β∈(0,π/2)且α+β≠π/2,角α,β满足条件:sinβ=sinαcos(α+β)
已知α,β属于(0,π/2)且sinβ=cos (α+β)sinα,
已知α、β≠kπ+π2(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα , sinθcosθ=sin
已知sin(3π-α)=根号2*sin(π-β),根号3*cos(-α)=-根号2*cos(π+β),且α、β∈(0,π
已知sin(3π-a)= 根号2sin(π-β),根号3cos(-a)= -根号2cos(π+β),且α β属于(0,π
已知向量a={cosα,sinα},b={cosβ,sinβ},且满足{ka+b}=根号3{a-kb}(k>0)
已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0.求cos(β
已知cos(α-β/2)=-3/5 sin(α/2-β)=12/13 且α∈(π/2,π),β∈(0,π/2),则sin
已知sinα - sinβ=1/3 cosα + cosβ=1/7 0 < α,β < π/2,求sin(α+β)/2的
已知sin(α+β)sin(α-β)=m,求cos^2α-cos^2β
已知向量a=(cosα,sinα)b=(cosβ,sinβ)c=(1/2,-1/2)且αβ∈(0,派/2)
高中数学已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=根号2