高中数学题.请高人指点啊.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 19:30:20

高中数学题.请高人指点啊.
设函数f(x)在(-无穷,+无穷）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0.
（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（2）试求函数f(x)在闭区间【-2005,2005】上的零点的个数,并证明你的结论

（1）由于f（2-x）= f（2+x）,f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7,即f（x）不是奇函数.
联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）
推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10）,T=10
又 f（1）= f（3）=0 ,而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数.
2.f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);
f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x);
所以f(4-x)=f(14-x),得f(x)=f(x+10).
f(x)是周期函数,最小正周期为10.
当n为整数时,f(10n+1)=f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,
其中-2005≤10n+1≤2005,-2005≤10n+3≤2005,
-200.6≤n≤200.4,-200.8≤n≤200.2,
这两个不等式分别有401个整数解,
即方程f(x)=0有802个根.

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