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f(x)是定义在R上的增函数,求F(X)=f(x)-f(-x)的增减性和奇偶性.

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/03 14:14:24
f(x)是定义在R上的增函数,求F(X)=f(x)-f(-x)的增减性和奇偶性.
f(x)是定义在R上的增函数,求F(X)=f(x)-f(-x)的增减性和奇偶性.
按定义证明.
设x1>x2,F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(-x1)-f(x2)+f(-x2)
=[f(x1)-f(x2)]+[f(-x2)-f(-x1)]
f(x)是定义在R上的增函数,x1>x2,所以f(x1)-f(x2)>0
x1>x2,则-x2>-x1,f(-x2)-f(-x1)>0.
所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(x2)]+[f(-x2)-f(-x1)]>0
所以F(X)是增函数
F(X)=f(x)-f(-x)
F(-X)=f(-x)-f(x)
所以F(-X)=-F(X)
所以F(X)是奇函数