搜搜考试网齐次方程
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 08:48:32
请解答
解题思路： (x³+y³)dx-3xy²dy=0,齐次方程的通解? dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)] 令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得： u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u] 故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²) 分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du) 取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³) 两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)] 故得x=C₁/√(1-2u³)],将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³) 于是得√(x³-2y³)=C₁√x 平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx,其中C=C²₁
解题过程：
(1)dy/dx=2y/x-x/y
设y/x=u,y=ux,则dy/dx=u'x+u
得u'x+u=2u-1/u
du/dx=(u-1/u)/x
即udu/(u^2-1)=dx/x
1/2ln|u^2-1|=ln|x|+C0
所以通解为(y/x)^2-1=Cx^2
(2)dx/dy=2e^(x/y)(x/y-1)/(1+2e^(x/y))
设x/y=u,dx/dy=u'y+u
u'y+u=2e^u(u-1)/(1+2e^u)
du/dy=(-2e^u-u)/[y(1+2e^u)]
得ln|2e^u+u|=-ln|y|+C0
通解为2e^(x/y)+x/y=C/y
(x³+y³)dx-3xy²dy=0,齐次方程的通解?
dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]
令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得：
u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du)
取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)
两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)]
故得x=C₁/√(1-2u³)],将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³)
于是得√(x³-2y³)=C₁√x
平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx,其中C=C²₁
解题过程：
(1)dy/dx=2y/x-x/y
设y/x=u,y=ux,则dy/dx=u'x+u
得u'x+u=2u-1/u
du/dx=(u-1/u)/x
即udu/(u^2-1)=dx/x
1/2ln|u^2-1|=ln|x|+C0
所以通解为(y/x)^2-1=Cx^2
(2)dx/dy=2e^(x/y)(x/y-1)/(1+2e^(x/y))
设x/y=u,dx/dy=u'y+u
u'y+u=2e^u(u-1)/(1+2e^u)
du/dy=(-2e^u-u)/[y(1+2e^u)]
得ln|2e^u+u|=-ln|y|+C0
通解为2e^(x/y)+x/y=C/y
(x³+y³)dx-3xy²dy=0,齐次方程的通解?
dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]
令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得：
u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du)
取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)
两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)]
故得x=C₁/√(1-2u³)],将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³)
于是得√(x³-2y³)=C₁√x
平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx,其中C=C²₁