搜搜考试网求尺规作正五边形的原理的几何解释
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 15:22:14
求尺规作正五边形的原理的几何解释
我会算,但有几何证明吗
我会算,但有几何证明吗
若已知直线和一已知圆相交,可求其交点.
·若两已知圆相交,可求其交点.
【尺规作图的著名问题】
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
■三等分角问题：三等分一个任意角；
■倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
■化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.
以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题.
还有另外两个著名问题：
■正多边形作法
·只使用直尺和圆规,作正五边形.
·只使用直尺和圆规,作正六边形.
·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边·形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.·
正五边形的画法]
(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:
①作线段ab等于定长l,并分别以a,b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k.
③以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m,n.
④顺次连接a,b,n,c,m各点即近似作得所要求的正五边形.
(2) 圆内接正五边形的画法如下:
①以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap.
② 平分半径on,得ok=kn.
③以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长.
④以ah为弦长,在圆周上截得a,b,c,d,e各点,顺次连接这些点即得正五边形.
3.民间口诀画正五边形
口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."
作法:
画法:
1.画线段ab=20mm,
2.作线段ab的垂直平分线,垂足为g.
3.在l上连续截取gh,hd,使 gh=5.9/5*10mm=19mm,
hd=5.9/5*10mm=11.8mm
4.过h作ec⊥cg,在ec上截取hc=he=8/5*10mm=16mm,
5.连结de,ea,ec,bc,cd,
五边形abcde就是边长为20mm的近似正五边形.
这里提供以下两种作法仅供参考：
1、已知边长作正五边形的近似画法如下： （1）作线段ab等于定长l,并分别以a、b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k. （2）以k为圆心,取ab的2/3长度为半径向外侧取c点,使ch=2/3ab （3）以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m、n. （4）顺次连接a、b、n、c、m各点即近似作得所要求的正五边形.
2、 圆内接正五边形的画法如下： （1）以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap. （2）平分半径on,得ok=kn. （3）以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长. （4）以ah为弦长,在圆周上截得a、b、c、d、e各点,顺次连接这些点即得正五边形.
·若两已知圆相交,可求其交点.
【尺规作图的著名问题】
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
■三等分角问题：三等分一个任意角；
■倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
■化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.
以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题.而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题.
还有另外两个著名问题：
■正多边形作法
·只使用直尺和圆规,作正五边形.
·只使用直尺和圆规,作正六边形.
·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边·形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.·
正五边形的画法]
(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:
①作线段ab等于定长l,并分别以a,b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k.
③以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m,n.
④顺次连接a,b,n,c,m各点即近似作得所要求的正五边形.
(2) 圆内接正五边形的画法如下:
①以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap.
② 平分半径on,得ok=kn.
③以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长.
④以ah为弦长,在圆周上截得a,b,c,d,e各点,顺次连接这些点即得正五边形.
3.民间口诀画正五边形
口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."
作法:
画法:
1.画线段ab=20mm,
2.作线段ab的垂直平分线,垂足为g.
3.在l上连续截取gh,hd,使 gh=5.9/5*10mm=19mm,
hd=5.9/5*10mm=11.8mm
4.过h作ec⊥cg,在ec上截取hc=he=8/5*10mm=16mm,
5.连结de,ea,ec,bc,cd,
五边形abcde就是边长为20mm的近似正五边形.
这里提供以下两种作法仅供参考：
1、已知边长作正五边形的近似画法如下： （1）作线段ab等于定长l,并分别以a、b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k. （2）以k为圆心,取ab的2/3长度为半径向外侧取c点,使ch=2/3ab （3）以 c为圆心,已知边长 ab为半径画弧,分别与前两弧相交于m、n. （4）顺次连接a、b、n、c、m各点即近似作得所要求的正五边形.
2、 圆内接正五边形的画法如下： （1）以o为圆心,定长r为半径画圆,并作互相垂直的直径mn和 ap. （2）平分半径on,得ok=kn. （3）以 k为圆心,ka为半径画弧与 om交于 h, ah即为正五边形的边长. （4）以ah为弦长,在圆周上截得a、b、c、d、e各点,顺次连接这些点即得正五边形.