搜搜考试网线性代数非齐次线性方程组的题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 00:23:32
线性代数非齐次线性方程组的题
设A为m*n矩阵,B为m*1矩阵,证明：方程组Ax=B有解的充要条件为（A的转置）y=0的任一解向量y0都是（B的转置）y=0的解向量
向量空间还没怎么学，所以不要用空间来证可以吗
设A为m*n矩阵,B为m*1矩阵,证明：方程组Ax=B有解的充要条件为（A的转置）y=0的任一解向量y0都是（B的转置）y=0的解向量
向量空间还没怎么学，所以不要用空间来证可以吗
证明: 方程组Ax=B有解
r(A)=r(A,B)
r(A^T) = r(A^T; B^T)
--(A^T; B^T)是上下两块的矩阵
B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示
A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解
A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量.
也可以这样考虑:
方程组Ax=B有解
B可由A的列向量组a1,...,an线性表示
B^T可由A^T的行向量组a1^T,...,an^T线性表示
以下同上.
再问： 那个“A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解”是怎么推出来的？
再答： B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 B^T 对应的方程就是一个"多余的方程" 所以 它们同解. 比如: (1,2), (3,4), (4,6) 对应方程组 x1+2x2=0 3x1+4x2=0 4x1+6x2=0 而 (4,6)=(1,2)+(3,4) 对应方程组 (3) = (1)+(2) (3)-(1)-(2) 方程组(3)可被(1),(2)消成0=0
再问： 那逆推的部分，倒数第二行推倒数第三行可以再解释一下吗？ 我不太明白
再答： 最后一行推倒数第二行 因为 A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量. 所以 A^Ty=0 的解 是 (A^T; B^T)y=0 的解 显然有 (A^T; B^T)y=0 的解 是 A^Ty=0 的解 所以 它们同解. 倒数第二行推倒数第三行 A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解 所以它们的基础解系所含向量的个数相同 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 -- 可以直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T)
再问： 不好意思还要问一下，“它们的基础解系所含向量的个数相同 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”是为什么
再答： AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量 如果这不知道, 就需看看书了, 这是线性方程组解的结构的基本结论
再问： 但是这是直接推出了秩相等，就跳过了“B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”这一步 并不是先推出 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示，再推出秩相等啊 我想问的是可以由“它们的基础解系所含向量的个数相同” 直接推出“ B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”吗？ 谢谢了
再答： 哦 是这个意思哈 那就这样说吧: 因为 A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解 所以, A^T 多出来行 B^T 对应的方程 B^Ty=0 就是一个"多余"方程 也就是说, 这个方程, 可由其余方程化成 0=0 恒等的平凡方程 对应的行向量, 就可由其余行向量线性表示 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 若还不明白,就直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T) 好了, 题目的证明也是完整的.
r(A)=r(A,B)
r(A^T) = r(A^T; B^T)
--(A^T; B^T)是上下两块的矩阵
B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示
A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解
A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量.
也可以这样考虑:
方程组Ax=B有解
B可由A的列向量组a1,...,an线性表示
B^T可由A^T的行向量组a1^T,...,an^T线性表示
以下同上.
再问： 那个“A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解”是怎么推出来的？
再答： B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 B^T 对应的方程就是一个"多余的方程" 所以 它们同解. 比如: (1,2), (3,4), (4,6) 对应方程组 x1+2x2=0 3x1+4x2=0 4x1+6x2=0 而 (4,6)=(1,2)+(3,4) 对应方程组 (3) = (1)+(2) (3)-(1)-(2) 方程组(3)可被(1),(2)消成0=0
再问： 那逆推的部分，倒数第二行推倒数第三行可以再解释一下吗？ 我不太明白
再答： 最后一行推倒数第二行 因为 A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量. 所以 A^Ty=0 的解 是 (A^T; B^T)y=0 的解 显然有 (A^T; B^T)y=0 的解 是 A^Ty=0 的解 所以 它们同解. 倒数第二行推倒数第三行 A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解 所以它们的基础解系所含向量的个数相同 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 -- 可以直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T)
再问： 不好意思还要问一下，“它们的基础解系所含向量的个数相同 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”是为什么
再答： AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量 如果这不知道, 就需看看书了, 这是线性方程组解的结构的基本结论
再问： 但是这是直接推出了秩相等，就跳过了“B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”这一步 并不是先推出 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示，再推出秩相等啊 我想问的是可以由“它们的基础解系所含向量的个数相同” 直接推出“ B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”吗？ 谢谢了
再答： 哦 是这个意思哈 那就这样说吧: 因为 A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解 所以, A^T 多出来行 B^T 对应的方程 B^Ty=0 就是一个"多余"方程 也就是说, 这个方程, 可由其余方程化成 0=0 恒等的平凡方程 对应的行向量, 就可由其余行向量线性表示 所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示 若还不明白,就直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T) 好了, 题目的证明也是完整的.