线性相关性证明4请用2种以上方法证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/23 18:21:01

线性相关性证明4
请用2种以上方法证明

常规证法:
设 k1b1+k2b2+...+krbr=0.
则有 (k1+k2+...+kr)a1+(k2+...+kr)a2+...+krar = 0.
因为 a1,a2,...,ar 线性无关.
所以有
k1+k2+...+kr=0
k2+...+kr=0
......
kr=0
所以必有 k1=k2=...=kr=0.
所以 b1,b2,...,br 线性无关.
特殊证法:
由已知,(b1,b2,...,br)=(a1,a2,...,ar)K.
其中K=
1 1 ...1
0 1 ...1
......
0 0 ...1
易知 |K|=1,所以K可逆.
所以有 r(b1,b2,...,br) = r[(a1,a2,...,ar)K] = r(a1,a2,...,ar)=r.
所以 b1,b2,...,br 线性无关.
[ 我换了角度,没用那个结论,用了这个结论:若P可逆,则 r(AP)=rA) ]
再问：明白，若用结论一个向量组A可由另一个向量组B线性表示的充分必要条件是存在矩阵K, 使得 A = BK，怎么说明 b1,b2,...,br 线性无关？可以写写？等下给你多追加10分
再答：由已知, (b1,b2,...,br)=(a1,a2,...,ar)K. 其中K= 1 1 ... 1 0 1 ... 1 ... ... 0 0 ... 1 易知 |K|=1, 所以K可逆. 所以有 (b1,b2,...,br) K^-1 = (a1,a2,...,ar) 所以 a1,a2,...,ar 可由 b1,b2,...,br 线性表示 . 所以两个向量组等价. 而等价的向量组有相同的秩所以 r(b1,b2,...,br) = r(a1,a2,...,ar)=r. 所以 b1,b2,...,br 线性无关. 呵呵我发现不能跟你说多了, 否则是自找麻烦 ^_^.

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