搜搜考试网一阶线性微分方程怎么求通解 找不到思路 想直接用公式又配不好
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 02:14:10
一阶线性微分方程怎么求通解 找不到思路 想直接用公式又配不好
最上面两个式子直接设y=Q(x)·exp(-sinx)和y=Q(x)·exp(cosx),其中Q(x)为待定函数,代入后就可以消去e的指数函数项按照一般的一阶微分方程求解了.——这是解带指数函数一阶方程常用的办法.
第二行左侧的式子同样可以设y=exp[Q(x)],那么dy=Q`(x)·exp[Q(x)]dx,这样原式可以变成：Q+(x-Q)Q`=0,同上理可解.
第二行右侧的式子用代换y=x³Q(x),那么dy/dx=3x²Q+x³Q`,代入原式变成：3x²Q+x³Q`+(2-3x²)Q=1,剩下的式子很简单就留给lz自己算了.
最后一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²),两侧取倒数得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2),注意观察右侧含有x/y,利用齐次方程的解法令x=uy（注意自变量和函数）,那么整理得到：u`-2(u/y)=-1/2；显然再利用齐次方程的解法,令u=vy,得到：v`y-v=-1/2,再分离变量得到：dv/(v-0.5)=dy/y,解得：ln(v-0.5)=y+C,最后把x回代得到：ln[(x/y²)-0.5]=y+C,两边取指数函数得到标准形式：x/y²-(1/2)=Dexp(y),D=expC为任意常数.
再问： 有点看不懂.. 不过还好自己看书会做了 谢谢啦
再问：
再问： 可以看下这两个么 谢谢啦 一定会采纳的
再答： 第一题可以整理得到：
(dx/dy)+x=2y[exp(-y)]
这是一个以y为自变量，x为函数的一阶线性微分方程，直接套书上的公式就ok了。
P=1 Q=2y[exp(-y)]
通解就是：x=exp(-y)[∫2y[exp(-y)][exp(y)]dy+C]=(y²+C)/[exp(y)]………………C为任意常数
第二题直接移项分离变量有：-dρ/ρ=2exp(2θ)dθ/[1+exp(2θ)]
两边积分得到：C-lnρ=ln[1+exp(2θ)]………………C为任意常数
两边在做e的指数函数得到：D/ρ=1+exp(2θ)………………D为任意常数，D=exp(C)
即ρ[1+exp(2θ)]=D
第二行左侧的式子同样可以设y=exp[Q(x)],那么dy=Q`(x)·exp[Q(x)]dx,这样原式可以变成：Q+(x-Q)Q`=0,同上理可解.
第二行右侧的式子用代换y=x³Q(x),那么dy/dx=3x²Q+x³Q`,代入原式变成：3x²Q+x³Q`+(2-3x²)Q=1,剩下的式子很简单就留给lz自己算了.
最后一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²),两侧取倒数得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2),注意观察右侧含有x/y,利用齐次方程的解法令x=uy（注意自变量和函数）,那么整理得到：u`-2(u/y)=-1/2；显然再利用齐次方程的解法,令u=vy,得到：v`y-v=-1/2,再分离变量得到：dv/(v-0.5)=dy/y,解得：ln(v-0.5)=y+C,最后把x回代得到：ln[(x/y²)-0.5]=y+C,两边取指数函数得到标准形式：x/y²-(1/2)=Dexp(y),D=expC为任意常数.
再问： 有点看不懂.. 不过还好自己看书会做了 谢谢啦
再问：
再问： 可以看下这两个么 谢谢啦 一定会采纳的
再答： 第一题可以整理得到：
(dx/dy)+x=2y[exp(-y)]
这是一个以y为自变量，x为函数的一阶线性微分方程，直接套书上的公式就ok了。
P=1 Q=2y[exp(-y)]
通解就是：x=exp(-y)[∫2y[exp(-y)][exp(y)]dy+C]=(y²+C)/[exp(y)]………………C为任意常数
第二题直接移项分离变量有：-dρ/ρ=2exp(2θ)dθ/[1+exp(2θ)]
两边积分得到：C-lnρ=ln[1+exp(2θ)]………………C为任意常数
两边在做e的指数函数得到：D/ρ=1+exp(2θ)………………D为任意常数，D=exp(C)
即ρ[1+exp(2θ)]=D