第一题是:a)用数学归纳法证明:1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=[(2n-1)(2n+1)(2n
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 19:10:02
第一题是:a)用数学归纳法证明:1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*1/6
然后使用a)的结果证明:1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6
第二题是:用数学归纳法证明 [2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数
然后使用a)的结果证明:1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6
第二题是:用数学归纳法证明 [2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数
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证明:1、显然当n=1时左边=1*3=3,右边=[(2*1-1)(2*1+1)(2*1+3)+3]*1/6=3,左边=右边成立;
假设当n=k时等式成立,也即有
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6成立,则
当n=k+1时,左边=1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+6*(2k+1)(2k+3)+3]*1/6
={(2k+1)[(2k-1)(2k+3)+6*(2k+3)+3]}*1/6
=[(2k+1)(4k^2+4k-3+12k+18)+3]*1/6
=[(2k+1)(4k^2+16k+15)+3]*1/6
=[(2k+1)(2k+3)(2k+5)+3]*1/6=右边成立
故对所有的n∈N都有等式成立.
2、当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数;当n=2时有[2^2-(-1)^2]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+2时,有
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[4*2^k-(-1)^k]*1/3=[3*2^k+2^k-(-1)^k]*1/3
=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
第二问亦可直接这样证明:
当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+1时,有
[2^(k+1)-(-1)^(k+1)]*1/3=[2*2^k+(-1)^k]*1/3=[3*2^k-2^k+(-1)^k]*1/3
=-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
再问: 然后使用a)的结果证明:1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6 其实我证明这里不太明白……(不好意思本人愚……) 而且为什么第二题不用k+1证明要用k+2 本人只学了用k+1证明MI……………… 不好意思啊……
再答: 1、第一问证明出来了,下面就很好办了。 因为(2n-1)(2n+1)=4n^2-1,故有 1^2+2^2+3^2+……+n^2=[1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)+1^2+(n-1)]/4 =[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*(1/6)/4+n/4 =[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6 2、第二问也可以用用k+1证明。我后边已经给出来了
假设当n=k时等式成立,也即有
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6成立,则
当n=k+1时,左边=1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+6*(2k+1)(2k+3)+3]*1/6
={(2k+1)[(2k-1)(2k+3)+6*(2k+3)+3]}*1/6
=[(2k+1)(4k^2+4k-3+12k+18)+3]*1/6
=[(2k+1)(4k^2+16k+15)+3]*1/6
=[(2k+1)(2k+3)(2k+5)+3]*1/6=右边成立
故对所有的n∈N都有等式成立.
2、当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数;当n=2时有[2^2-(-1)^2]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+2时,有
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[4*2^k-(-1)^k]*1/3=[3*2^k+2^k-(-1)^k]*1/3
=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
第二问亦可直接这样证明:
当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+1时,有
[2^(k+1)-(-1)^(k+1)]*1/3=[2*2^k+(-1)^k]*1/3=[3*2^k-2^k+(-1)^k]*1/3
=-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
再问: 然后使用a)的结果证明:1^2+2^2+3^2+……+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6 其实我证明这里不太明白……(不好意思本人愚……) 而且为什么第二题不用k+1证明要用k+2 本人只学了用k+1证明MI……………… 不好意思啊……
再答: 1、第一问证明出来了,下面就很好办了。 因为(2n-1)(2n+1)=4n^2-1,故有 1^2+2^2+3^2+……+n^2=[1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)+1^2+(n-1)]/4 =[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+3]*(1/6)/4+n/4 =[n*(n+1)*(2n+1)]*1/6 2、第二问也可以用用k+1证明。我后边已经给出来了
用数学归纳法证明:-1+3-5+...+(-1)n*(2n-1)=(-1)n*n
用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2
第一题是:a)用数学归纳法证明:1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=[(2n-1)(2n+1)(2n
用数学归纳法证明:1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)
用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N
用数学归纳法证明:1*3*5*……*(2n-1)*2^n=(n+1)(n+2)……(2n)(n属于自然数)
用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*)”时,从n=k到n=k+
用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3,n∈N+)
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)
用数学归纳法证明:1-3+5-7+...+(-1)^N-1(2N-1)=(-1)^N-1*N