搜搜考试网求解一道高中数学竞赛题（斯特瓦尔特定理）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 10:39:27
求解一道高中数学竞赛题（斯特瓦尔特定理）
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=（AB-AC)²
已知AE为三角形角平分线,BS=EC,求证AS²-AE²=（AB-AC)²
由斯特瓦尔特定理：
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------（*）
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是（*）式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2
AB^2*EC+AC^2*BE-AE^2*BC=BE*EC*BC-----------1
AB^2*SC+AC^2*BS-AS^2*BC=BS*SC*BC------------2
因为BS=EC,
所以BE=SC
则1-2式得
AB^2(EC-SC)+AC^2(BE-BS)-(AE^2-AS^2)*BC=BE*EC*BC-BS*SC*BC=0
即-AB^2*SE+AC^2*SE=(AE^2-AS^2)*BC---------------（*）
而AE是角平分线
所以SC=BE=BC*AB/(AB+AC)
CE=BC*AC/(AB+AC)
则SE=SC-CE=BC*(AB-AC)/(AB+AC)
于是（*）式化为
(AC^2-AB^2)*BC*(AB-AC)/(AB+AC)=(AE^2-AS^2)*BC
(AB-AC)^2=AS^2-AE^2