如图所示,已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM向量

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/08 07:28:41

如图所示,已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM向量＝2AP向量,NP向量⊥AM向量,点N的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足FG向量=nFH向量,求n的取值范围.

（1）由题意,点N的轨迹为椭圆,以A(1,0）,C(-1,0)为焦点的椭圆
∴c=1
∵AM向量＝2AP向量
∴P是AM的中点,又NP向量⊥AM向量
∴|NA|=|NM|,|NC|+|NM|=2√2（定值）=|NC|+|NA|
椭圆方程中2a=2√2,a=√2
∴b=1
∴椭圆的方程为x^²/2+y^²=1,即曲线E的方程为x^²/2+y^²=1
（2）当直线与椭圆相切时n最大,此时n=1,即FG向量=FH向量；
当直线为y轴时n最小,此时|FG|=1,|FH|=3,n=1/3
∴n的取值范围是[1/3,1].