设A是n阶矩阵,证明非其次对任何b都有解-搜答案-搜搜考试网

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对

要用到定理r(A)+r(B)>=r(A+B)故rank{A+E}+rank{A-E}=rank{A+E}+rank{E-A}=rank{2E}}=n该定理证明如下,令a1,a2...ar为A的极大线性

如果a是AB的非零特征值,则存在非零向量x,使得　ABx=ax　**.而Bx不等于零,否则若Bx=0有ax=0,与a非零和x非零矛盾.记：Bx=y.由**左乘B,可知BAy=ay.因y为非零向量,所以

行列式等于零,Ax=0有非零解,所以存在B.（简单只需取一个解,加上n-1个零解,构成B）

a[i][j]=a[j][i]b[i][j]=b[j][i]a+b=c则c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]=a[j][i]+b[j][i]=c[j][i]所以c是对称矩阵,也就是a+b是对

假设A相似于对角矩阵Λ,则由相似的定义有A=P^(-1)ΛP,P可逆所以A^k=(P^(-1)ΛP)^k=P^(-1)Λ^k*P=O所以Λ^k=O即Λ=O从而A=P^(-1)ΛP=O与A是n阶非0矩阵

转置符号用'代替说明首先,第一步(A+B)’=A‘+B’=A+B所以A+B是对称矩阵其次,任取x≠0根据正定定义x‘Ax>0.x‘Bx>0.于是x’（A+B）x=x‘Ax+x‘Bx>0所以A+B是正定

因为A+A^T是对称矩阵且X^T(A+A^T)X=X^TAX+X^TA^TX=X^TAX+(X^TAX)^T=0所以A+A^T=0所以A^T=-A故A是反对称矩阵.

因为A是m*n矩阵,则r(A)

由于A是对称矩阵,因此存在正交矩阵T使得T^（-1）AT为对角矩阵,其中对角线上的元素为A的所有特征值,因此只要证A的特征值只有0和1即可由于A^2=A,所以A的特征是0或1,证毕

因为AB=0r（A）+r（B）=1r（A）

1.A不可逆|A|=0AA*=|A|E=O假设|A*|≠0则A=O显然A*=O,与假设矛盾,所以|A*|=0即|A*|=|A|n-1=02.A可逆|A|≠0AA*=|A|EA*也可逆又|AA*|=||

R(A)=R(A:β)=n

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证明：否则,假设A相似与对角矩阵D,即存在可逆矩阵T使得A=T逆*D*T故A^3=T逆*D^3*T=0得：D^3=0又D为对角矩阵,易知D=0从而A=0矛盾以上回答你满意么?

证明B是m阶实对称矩阵,则B特征值均为正式实数,且对任意m维向量x,0b1x'x-(b1/am)×amx'x>0,故B-HAH'成为正定矩阵.

直接看二次型x'A'Ax即可

(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT,所以A+AT是对称矩阵

因为反对称矩阵的特征值是0或者纯虚数.如果A+cE不可逆,则-c为反对称矩阵的特征值,出现矛盾,所以矩阵A+cE恒可逆补充证明：由反对称阵定义得A=-A'设ξ是属于特征值λ的特征向量,即Aξ=λξ那么