关于万有引力那一章的两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地面的高度等于R,b卫星离

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：物理作业时间：2024/04/24 11:02:02

关于万有引力那一章的
两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地面的高度等于R,b卫星离地面的高度等于3R,则：
1.a、b两卫星的周期之比Ta：Tb是多少?
2.若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,则a至少经过多少个周期两卫星相距最远?
especially第二问!

质量为M、m 的两个物体距离为 r 时,有万有引力 GMm/r^2
(附录说明：^2 代表平方运算,^3 代表立方运算）
如果 m 绕 M 做圆周运动,那么万有引力即为向心力.
GMm/r^2 = m*v^2/r
其中 v = 2πr/T.代入上式
GM/r^2 = 4 π^2 r/T^2
所以 T^2 = (4π^2/GM)*r^3 = 常数*r^3
以上即为开氏定律的原理.
对于本问题,卫星a的半径 ra = R+R = 2R,卫星b的半径为 rb = R+3R = 4R
所以两卫星的周期的平方比为
(Ta^2):(Tb^2) = (ra^3):(rb^3) = (2R)^3 : (4R)^3 = 8:64 = 1:8
因此周期比为
Ta : Tb = 1 : √8 = 1 : 2√2
第二问
以两卫星处于同一经纬度时刻为时间零点.以时间 t 作为自变量,以从零点时刻开始算起转过的角度 Y 为因变量.则
Y = ωt = 2 π t/T （ω 代表角速度）
两卫星相距最远时,Ya - Yb = (2k+1)π
a至少经过的周期对应 k = 0
Ya - Yb = π
2πt*(1/Ta - 1/Tb) = π
2πt*[1/Ta - 1/(2√2Ta)] = π
2t/Ta * (1 - 1/(2√2）] = 1
t/Ta = (4+√2)/7
t = 0.77 Ta