已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/18 17:03:02

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

（1）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）
f'（x）=3ax²+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）
由条件f′(1)•(−
1
9)＝−1，即3a+2b＝9②式…（5分）
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分）
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3