搜搜考试网一道集合的问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 19:30:00
已知集合A={x|x^2+ax+a+1=0} （1） 若x∈A，则x^2∈A，求a的值； （2） 是否存在实数a,使得若x∈A，y∈A，则xy∈A，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
解题思路： 转化，分类讨论
解题过程：
（1）A 是方程 x^2+ax+a+1=0 的解集，至多两个元素，
由于 x∈A 时有 x^2∈A ，因此 A 的元素只可能是 -1、0、1 ，并且 -1∈A 时 1 ∈A 。
① 若 A=｛0｝，则 x^2+ax+a+1=x^2 ，此不可能；
② 若 A=｛1｝，则 x^2+ax+a+1=(x-1)^2 ，此不可能；
③ 若 A=｛0，1｝，则 x^2+ax+a+1=x(x-1) ，解得 a= -1 ；
④ 若 A=｛-1，1｝，则 x^2+ax+a+1=(x-1)(x+1) ，此不可能，
综上可得 a= -1 。
（2）如果 x=y ，那么 xy=x^2 ；
如果 x ≠ y ，由于 A 至多只有两个元素，因此 xy=x 或 xy=y ，
所以 A=｛0，1｝满足条件，此时 a= -1 。
最终答案：略
解题过程：
（1）A 是方程 x^2+ax+a+1=0 的解集，至多两个元素，
由于 x∈A 时有 x^2∈A ，因此 A 的元素只可能是 -1、0、1 ，并且 -1∈A 时 1 ∈A 。
① 若 A=｛0｝，则 x^2+ax+a+1=x^2 ，此不可能；
② 若 A=｛1｝，则 x^2+ax+a+1=(x-1)^2 ，此不可能；
③ 若 A=｛0，1｝，则 x^2+ax+a+1=x(x-1) ，解得 a= -1 ；
④ 若 A=｛-1，1｝，则 x^2+ax+a+1=(x-1)(x+1) ，此不可能，
综上可得 a= -1 。
（2）如果 x=y ，那么 xy=x^2 ；
如果 x ≠ y ，由于 A 至多只有两个元素，因此 xy=x 或 xy=y ，
所以 A=｛0，1｝满足条件，此时 a= -1 。
最终答案：略