lim(n→∞) (cos x/n)^n^2

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/06 16:19:15

lim(n→∞) (cos x/n)^n^2=?
y=[cos(x/n)]^n² lny = lncos(x/n) / (1/n²)
lim(n->wq) lny = -(-x/n²) sin(x/n)/cos(x/n) / (-2/n³)
= -(x/2) lim(n->wq) n tan(x/n)
= -(x/2) lim(n->wq) sec²(x/n) (-x/n²)/(-1/n²)
= -(x²/2) lim(n->wq) sec²(x/n)
= -x²/2
因此：
lim(n→∞) (cos x/n)^n^2 = e^(-x²/2)
再问：我已经想到构造等价无穷小了，你要是有截图就更好了，我现在验算一下，你的结果表达形式看不太懂
再答：多次应用洛必达法则。设原式为：y先对原式取自然对数lny：当n->∞，lny的分子分母为: 0/0，用洛必达法则；之后再用因此罗氏法则；取反函数：e^(lny)=y=e^(-x²)
再问：罗氏法则是高数(下)的内容吗？这题是1^∞型，可以构造等价无穷小。谢谢你的新方法，虽然我还没学这种方法，不过记下来了！希望这题对各求学学子有帮助！
再答：这题很好。洛必达法则高数中求极限的有效方法，慢慢的就学到了。
熟练掌握用起来很方便。此外取对数再求导的方法也很有效。
配合使用很好用。

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