搜搜考试网关于三角形内心的数学题目
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 14:39:24
关于三角形内心的数学题目
已知圆M、圆N相交于A、B两点,延长MA交圆N于C,延长NA交圆M于D.求证：A是△BCD的内心
已知圆M、圆N相交于A、B两点,延长MA交圆N于C,延长NA交圆M于D.求证：A是△BCD的内心
假设∠AMB=α,∠ANB=β.连接MN,MD,NC
1) 根据圆周角等于圆弧角的一半,有∠ADB=α/2,∠ACB=β/2
2) 很容易证明△AMN≌△BMN（SSS）,于是∠AMN=α/2,∠ANM=β/2
3) 根据三角形外角等于两内角之和,有∠ABD=∠NAB-∠ADB=[(π-β)/2]-[α/2]=(π-α-β)/2,∠ABC=∠MAB-∠ACB=[(π-α)/2]-[β/2]=(π-α-β)/2.这样∠ABD=∠ABC,即BA是∠DBC的角平分线
4) 根据圆弧角等于圆周角的两倍,有∠AMD=2∠ABD,∠ANC=2∠ABC.因为∠ABD=∠ABC,所以∠AMD=∠ANC,结合MA=MD,NA=NC,可以证明△MAD相似于△NAC,故AD/AM=AC/AN
5) 根据4)的结论,结合∠DAC=∠MAN（对顶角）,得△DAC相似于△MAN,于是∠ADC=∠AMN=α/2,∠ACD=∠ANM=β/2.故∠ADC=∠ADB=α/2,∠ACD=∠ACB=β/2,即DA平分∠BDC,CA平分∠BCD,这样A是△BCD的内心.证毕
1) 根据圆周角等于圆弧角的一半,有∠ADB=α/2,∠ACB=β/2
2) 很容易证明△AMN≌△BMN（SSS）,于是∠AMN=α/2,∠ANM=β/2
3) 根据三角形外角等于两内角之和,有∠ABD=∠NAB-∠ADB=[(π-β)/2]-[α/2]=(π-α-β)/2,∠ABC=∠MAB-∠ACB=[(π-α)/2]-[β/2]=(π-α-β)/2.这样∠ABD=∠ABC,即BA是∠DBC的角平分线
4) 根据圆弧角等于圆周角的两倍,有∠AMD=2∠ABD,∠ANC=2∠ABC.因为∠ABD=∠ABC,所以∠AMD=∠ANC,结合MA=MD,NA=NC,可以证明△MAD相似于△NAC,故AD/AM=AC/AN
5) 根据4)的结论,结合∠DAC=∠MAN（对顶角）,得△DAC相似于△MAN,于是∠ADC=∠AMN=α/2,∠ACD=∠ANM=β/2.故∠ADC=∠ADB=α/2,∠ACD=∠ACB=β/2,即DA平分∠BDC,CA平分∠BCD,这样A是△BCD的内心.证毕