有一个空间几何体,不管怎么切,截面都是三角形.它存在么?存在的话是什么?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:08:52

应该不存在.
先取一个平面, 设其截面三角形为△ABC.
过BC边取另一个平面, 截面三角形为△BCD.
平面ABD的截面三角形就是△ABD, 平面ACD的截面三角形△ACD.
取平面α过AB, AC, DC, DB的中点E, F, G, H (可证明EFGH为平行四边形).
这四点在平面α的截面三角形的边界上, 必定有某两点落在同一边.
设E, F在同一边, 由直线EF在平面ABC上, 而平面ABC与几何体的截面是△ABC,
知E, F是平面α的截面三角形的顶点, EF是截面三角形的一条边.
但是EFGH为平行四边形, 易见G, H不可能落在以EF为一条边的三角形的边上, 矛盾.
证明有点抽象, 但其实就是以四面体为范本.
取中点只是为了更容易的导出矛盾, 换成一个平面与那四条棱的交点也行.
再问：第四句，平面ABD的截面三角形不一定就是三角形ABD
再答：这个是完全可以说明的, 比如这样: 线段AB是平面ABC的截面的一条边, 一定在几何体的边界上. 所以AB也在平面ABD的截面三角形的边界上, 即有截面三角形的一条边落在直线AB上. 考虑直线AB与几何体的公共点集, 由直线AB包含于平面ABC, 而平面ABC的截面为△ABC, 所以公共点集就是线段AB. 于是AB就是截面三角形的一条边. 同理BD也是截面三角形的一条边. 所以截面三角形为△ABD. 这样是不是没问题了?

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