搜搜考试网一道有关抛物线的数学题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 23:11:03
一道有关抛物线的数学题
已知过抛物线y2=2px(P大于0)的焦点的直线交抛物线于AB两点,且AB=5/2P.求直线AB方程.
已知过抛物线y2=2px(P大于0)的焦点的直线交抛物线于AB两点,且AB=5/2P.求直线AB方程.
准线x=-p/2
焦点(p/2,0)
若直线AB垂直x轴,则x=p/2
y^2=p^2,y=p,y=-p
此时AB=p-(-p)=2p,不合题意
所以直线AB不是垂直x轴
所以直线AB斜率存在
y-0=k(x-p/2)=kx-kp/2
y^2=2px
k^2x^2-k^2px+k^2p^2/4=2px
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
x1+x2=(k^2p+2p)/k^2
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
A和B横坐标分别是x1和x2
则A和B到准线距离分别是x1+p/2和x2+p/2
A和B到焦点距离之和=5p/2
所以x1+p/2+x2+p/2=5p/2
x1+x2=3p/2
所以(k^2p+2p)/k^2=3p/2
3pk^2=2pk^2+4p
k^2=4
k=2.k=-2
所以
y=2x-p
y=-2x+p
焦点(p/2,0)
若直线AB垂直x轴,则x=p/2
y^2=p^2,y=p,y=-p
此时AB=p-(-p)=2p,不合题意
所以直线AB不是垂直x轴
所以直线AB斜率存在
y-0=k(x-p/2)=kx-kp/2
y^2=2px
k^2x^2-k^2px+k^2p^2/4=2px
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
x1+x2=(k^2p+2p)/k^2
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
A和B横坐标分别是x1和x2
则A和B到准线距离分别是x1+p/2和x2+p/2
A和B到焦点距离之和=5p/2
所以x1+p/2+x2+p/2=5p/2
x1+x2=3p/2
所以(k^2p+2p)/k^2=3p/2
3pk^2=2pk^2+4p
k^2=4
k=2.k=-2
所以
y=2x-p
y=-2x+p