搜搜考试网反函数问题1
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 09:26:42
解题思路： 你第二个“疑问”中的“只有单调函数才有反函数”这句话是错的，具体原因解析详见解答过程.
解题过程：
【请今后还是把“疑问”采用文字输入，便于我“复制”来分开回答】 1、解：由 
， 得 
， ∵ f(x)在区间[－1，2]上是“连续函数”， ∴ 欲使 f(x)在区间[－1，2]上有反函数， 需且只需 其为单调函数， 即 f(x)在开区间(－1，2)内无极值点， 即 对任意
，“恒有
≥0”， 或 “恒有≤0”， 即 对任意，“恒有
”，或 “恒有
”， 当时，
的最大值为3， 最小值为 －1， ∴ “恒有”，
；“恒有”， 
， 故 a≥1，或 a≤－3， ∴ 实数a的取值范围是 （－∞，－3]∪[1，＋∞）. 2、“只有单调函数才有反函数”这句话是错误的， 例如下面的两个函数： 
反比例函数
， 分段函数
，在各自的定义域上都不是单调函数，但是，它们都有反函数 . 正确结论是：只有“x与y是一一对应”的函数才有反函数。 单调函数一定是满足“x与y一一对应”， 所以，单调函数一定有反函数。但是，有反函数的函数不一定是单调函数。 你说的所谓“偶函数类型的函数有反函数”，确实是因为认为限定了定义域的缘故，常见的题目中也确实是因为在限定的定义域上是单调函数了，所以就有反函数了。 3、上述题目，如果改成“没有反函数”， 则当然可以采用“补集法”来求解： ∵ 使“f(x)在[－1，2]上有反函数”的条件是 a≤－3 或 a≥1， ∴ 使“f(x)在[－1，2]上没有反函数”的条件是 －3＜a＜1 . 4、每种反三角函数都是规定了“主值区间”的 定义：函数y＝sinx在
上的反函数叫反正弦函数，记作 y＝arcsinx， 此函数的定义域是[－1，1]，值域是
； 例如：已知 sinx＝0.3，， 则 x＝arcsin0.3； 已知 sinx＝－0.7，， 则 x＝arcsin(－0.7)； 凡不是内的角，都不能用“arcsin( )”来直接表示， 例如：sinx＝0.6，
， 表示成x＝arcsin0.6 就是错的， 正确的表示应该是：∵ 
， ∴ π－x＝arcsin0.6， 得 x＝π－arcsin0.6 . 定义：函数y＝cosx在
上的反函数叫反余弦函数，记作 y＝arccosx， 此函数的定义域是[－1，1]，值域是
； 例如：已知 cosx＝0.3，， 则 x＝arccos0.3； 已知 cosx＝－0.7，， 则 x＝arccos(－0.7)； 凡不是内的角，都不能用“arccos( )”来直接表示， 例如：cosx＝0.6，
， 表示成x＝arccos(－0.6) 就是错的， 正确的表示应该是：∵ 
， ∴ －x＝arccos0.6， 得 x＝－arcsin0.6 .
解题过程：
【请今后还是把“疑问”采用文字输入，便于我“复制”来分开回答】 1、解：由 ， 得 ， ∵ f(x)在区间[－1，2]上是“连续函数”， ∴ 欲使 f(x)在区间[－1，2]上有反函数， 需且只需 其为单调函数， 即 f(x)在开区间(－1，2)内无极值点， 即 对任意，“恒有≥0”， 或 “恒有≤0”， 即 对任意，“恒有”，或 “恒有”， 当时，的最大值为3， 最小值为 －1， ∴ “恒有”， ；“恒有”， ， 故 a≥1，或 a≤－3， ∴ 实数a的取值范围是 （－∞，－3]∪[1，＋∞）. 2、“只有单调函数才有反函数”这句话是错误的， 例如下面的两个函数： 反比例函数， 分段函数，在各自的定义域上都不是单调函数，但是，它们都有反函数 . 正确结论是：只有“x与y是一一对应”的函数才有反函数。 单调函数一定是满足“x与y一一对应”， 所以，单调函数一定有反函数。但是，有反函数的函数不一定是单调函数。 你说的所谓“偶函数类型的函数有反函数”，确实是因为认为限定了定义域的缘故，常见的题目中也确实是因为在限定的定义域上是单调函数了，所以就有反函数了。 3、上述题目，如果改成“没有反函数”， 则当然可以采用“补集法”来求解： ∵ 使“f(x)在[－1，2]上有反函数”的条件是 a≤－3 或 a≥1， ∴ 使“f(x)在[－1，2]上没有反函数”的条件是 －3＜a＜1 . 4、每种反三角函数都是规定了“主值区间”的 定义：函数y＝sinx在上的反函数叫反正弦函数，记作 y＝arcsinx， 此函数的定义域是[－1，1]，值域是； 例如：已知 sinx＝0.3，， 则 x＝arcsin0.3； 已知 sinx＝－0.7，， 则 x＝arcsin(－0.7)； 凡不是内的角，都不能用“arcsin( )”来直接表示， 例如：sinx＝0.6，， 表示成x＝arcsin0.6 就是错的， 正确的表示应该是：∵ ， ∴ π－x＝arcsin0.6， 得 x＝π－arcsin0.6 . 定义：函数y＝cosx在上的反函数叫反余弦函数，记作 y＝arccosx， 此函数的定义域是[－1，1]，值域是； 例如：已知 cosx＝0.3，， 则 x＝arccos0.3； 已知 cosx＝－0.7，， 则 x＝arccos(－0.7)； 凡不是内的角，都不能用“arccos( )”来直接表示， 例如：cosx＝0.6，， 表示成x＝arccos(－0.6) 就是错的， 正确的表示应该是：∵ ， ∴ －x＝arccos0.6， 得 x＝－arcsin0.6 .