搜搜考试网实数的概念
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 10:39:50
实数的概念
有理数与无理数总称为实数.
而无理数则不然,从它的发现到它的严格定义,是曲折而漫长的.所以研究实数理论主要是研究无理数理论.
到了19世纪70年代,著名的德国数学家外尔斯特拉斯 1815-1897 、康托尔 1845-1918 和法国的柯西 1789-1857 及戴德金 1831-1916 等都对实数理论进行了研究,获得了几种形异而实同的实数理论,其中以戴德金分割法 1872 ；康托尔的有理数「基本序列」法 1872 为最有代表性.上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派.
由极限理论可知,有极限的有理数列都应该是基本数列,例如若a为有理数,常数数列
a,a…,a,……
当然是基本数列,它的极限就是a本身.对2进行开平方,可依次得出一列有限小数
1,1.4,1.41,1.414,1.4142,……
也是一个基本数列,如果已经定义了实数的话,那么它的极限应该是,但是在尚未引进无理数,而只有有理数的情况下,上述基本数列是没有极限的.这就启示我们,把每一个「基本数列」当做一种新的「数」来看待,即凡是收敛于有理数a的基本数列,把它看作有理数a,凡不能收敛于有理数的基本数列,就把它看做新的「数」——无理数.从而把基本数列的全体可当做一个「数集」,称它为实数集.
而无理数则不然,从它的发现到它的严格定义,是曲折而漫长的.所以研究实数理论主要是研究无理数理论.
到了19世纪70年代,著名的德国数学家外尔斯特拉斯 1815-1897 、康托尔 1845-1918 和法国的柯西 1789-1857 及戴德金 1831-1916 等都对实数理论进行了研究,获得了几种形异而实同的实数理论,其中以戴德金分割法 1872 ；康托尔的有理数「基本序列」法 1872 为最有代表性.上述两法与外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派.
由极限理论可知,有极限的有理数列都应该是基本数列,例如若a为有理数,常数数列
a,a…,a,……
当然是基本数列,它的极限就是a本身.对2进行开平方,可依次得出一列有限小数
1,1.4,1.41,1.414,1.4142,……
也是一个基本数列,如果已经定义了实数的话,那么它的极限应该是,但是在尚未引进无理数,而只有有理数的情况下,上述基本数列是没有极限的.这就启示我们,把每一个「基本数列」当做一种新的「数」来看待,即凡是收敛于有理数a的基本数列,把它看作有理数a,凡不能收敛于有理数的基本数列,就把它看做新的「数」——无理数.从而把基本数列的全体可当做一个「数集」,称它为实数集.