设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应于λ2 的两

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 14:30:02

设λ₁，λ₂为方阵A的两个不同的特征值，α₁，α₂为A相应于λ₁的两个线性无关的特征向量，α₃，α₄为A相应于λ₂ 的两个线性无关的特征向量，证明向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应于λ2 的两

证明：由题意，Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₁α₂，Aα₃=λ₂α₃，Aα₄=λ₂α₄，
设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0，则
用矩阵A左乘上式两端，得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃+k₄Aα₄=0
∴k₁λ₁α₁+k₂λ₁α₂+k₃λ₂α₃+k₄λ₄α₄=0…（*）
而A（k₁α₁+k₂α₂）=λ₁（k₁α₁+k₂α₂），A（k₃α₃+k₄α₄）=λ₂（k₃α₃+k₄α₄）
即k₁α₁+k₂α₂是A相应于λ₁的特征向量，k₃α₃+k₄α₄是A相应于λ₂的特征向量
又不同特征值所对应的特征向量，是线性无关的
因此k₁α₁+k₂α₂和k₃α₃+k₄α₄是线性无关的
又由（*）得
λ₁（k₁α₁+k₂α₂）+λ₂（k₃α₃+k₄α₄）=0
且λ₁，λ₂为方阵A的两个不同的特征值
∴k₁α₁+k₂α₂=0
和k₃α₃+k₄α₄=0
而α₁，α₂为两个线性无关的特征向量，
α₃，α₄为两个线性无关的特征向量
∴k₁=k₂=k₃=k₄=0
∴向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．
再问：如何代入呢？

λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是已知λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求出α2,(A^2)×(α1+α2)线性无关的 λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求α1,A(α1+α2)线性无关充要条件设3阶方阵A的特征值为1 -1 2 相应的特征向量为 1 2 1 0 1 0 2 1 3 求A 若λ为A的k重特征值,则对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数《k X1,X2分别为A的对应特征值 λ1,λ2的特征向量,证明X1,X2 线性无关. A为n阶矩阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,α1,α2是分别属于A的两个不同特征值的特征向量.若k1+k2仍为特征向已知A是n阶方阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,X1,X2分别是它们对应的特征向量,证明X1X2线性无关. 线性代数：矩阵A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,则λ=2有两个线性无关的特征向量. 请问3阶设3阶方阵A的特征值为1,2,0,其相应的特征向量a1,a2,a3.B=A^3-2A+3E,求B^-1的特征向量 A为n阶矩阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,α1,α2是分别属于A的两个不同特征值的特征向量.