（2007•威海一模）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/05 08:14:19

（2007•威海一模）已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-

（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=−
2a
3，
因为 a＞0，所以x=−
2a
3＜0，
当f'（x）＞0时，解得x＜−
2a
3或x＞0，此时函数单调递增．
当f'（x）0时，解得−
2a
3＜x＜0，此时函数单调递减．
所以当x=−
2a
3时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．
即f(−
2a
3)＝−(−
2a
3)3+a(−
2a
3)2+b＝5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函数解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上问知当x=0或x=-
2a
3时，f'（x）=0．
①当a＞0时，x=-
2a
3＜0．函数f（x）在（-∞，-
2a
3）和（0，+∞）上是单调递增函数，在（-
2a
3，0）上是单调递减函数．
∴若f（x）在（-∞，-
1
2）上是增函数，则必有−
1
2≤−
2a
3，解得0＜a≤
3
4．
②当a＜0时，-
2a
3＞0．函数f（x）在（-∞，0）和（-
2a
3，+∞）上是单调递增函数，
在（0，−
2a
3）上是单调递减函数．显然满足f（x）在（-∞，-
1
2）上是增函数．
③当a=0时，-
2a
3=0．函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
也满足f（x）在（-∞，-
1
2）上是增函数．
∴综合上述三种情况，所求a的取值范围为(−∞，
3
4]．…（12分）

已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．已知函数f(x)=13x3-ax2+bx．（a，b∈R）（2010•宣武区一模）已知函数f(x)＝13x3−ax2+(a2−1)x+b(a，b∈R)，（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．（2011•万州区一模）已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）．已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3（a,b∈R）,若函数在区间[0,1]上单减,求a2+b2的最小值已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R）．已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．