数列求表达式

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 04:44:35

设f(n)是定义在N+上的增函数，f(4)=5,且满足： 1、任意nÎN+，f(n)Z; 2、任意m、nÎN+，有f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1) 求f(n)的表达式。

解题思路：（1）利用已知的表达式，通过m=1，n=4，直接求f（1），利用函数的单调性以及f（n）∈Z，即可求出f（2），f（3）的值；（2）利用函数的关系式，推出f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，然后求出f（n）的表达式．
解题过程：
解：（1）∵f（m）f（n）=f（mn）+f（m+n-1），f（4）=5，
∴f（1）f（4）=f（4）+f（4）．
∴5f（1）=10，∴f（1）=2；
∵f（n）是定义在N^*上的增函数，
∴2=f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）
∵f（n）∈Z，
∴f（2）=3，f（3）=4．
（2）∵f（n）是定义在N^*上的增函数，
∴f（n+1）＞f（n），又f（n）∈Z，
∴f（n+1）≥f（n）+1，又f（1）=2．∴f（n）≥n+1，
由已知可得：f（2）f（n）=f（2n）+f（n+1），
而f（2）=3，f（2n）≥2n+1，
∴3f（n）≥f（n+1）+2n+1，
即f（n+1）≤3f（n）-2n-1或者f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）
∴有f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）≤3²（f（n-1）-n）≤3³（f（n-2）-n+1）≤…≤3ⁿ（f（1）-2）=0
于是，f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，
∴f（n+1）=n+2．
又f（1）=2，
∴f（n）=n+1．

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