柯西不等式正实数x+y+z=1,

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 22:18:18

柯西不等式正实数x+y+z=1,
求证x的4次幂/﹙2+y²-z﹚+y的4次幂/﹙2+z²-x﹚+z的4次幂/﹙2+x²-y﹚≥1/48在线等重谢

利用柯西不等式
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y)>=(x^2+y^2+z^2) 显然x=y=z时等号成立
由于x+y+z=1,带入第二个括号(2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y),得
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (5+x^2+y^2+z^2)>=(x^2+y^2+z^2)
整理上述不等式可得：
[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]
>=(x^2+y^2+z^2)/(5+x^2+y^2+z^2)=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
即[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
再由柯西不等式可得(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)>=(x+y+z)^2暨(x^2+y^2+z^2)>=1/3
等号成立当且仅当x=y=z
再把(x^2+y^2+z^2)>=1/3带入此式：[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)可得该式>=1/48
两个大于等于号的成立条件都是x=y=z,故而这个连续不等式是可以的.
所以[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1/48

代数不等式（1）设x,y,z为正实数求证 3（x^3*y+y^3*z+z^3*x)= 已知正实数x,y,z满足：x+y+z=1,求使不等式1/x+1/y+1/z≥㏒m〔m-2〕+10恒成立的实数m的取值范围已知 x,y,z都是正实数,且 x+y+z=xyz 证明 (y+x)/z+(y+z)/x+(z+x)/y≥2(1/x+1 若不等式|a-1|≥X+2Y+2Z对满足X+Y+Z=1的一切正实数X.Y.Z恒成立求a的范围 x,y,z属于正实数,且3x+4y+5z=1 求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(x+z)的最小值已知x、y、z、是正实数,且x+y+z=xyz,求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(x+z)的最大值. 设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则1x+y+9(x+y)y+z 已知正实数x,y,z,满足xyz=1.求代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值已知x,y,z属于正实数,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值为? 若x,y,z是正实数,且x+y+z=xyz,证明：(y+z/x)+(z+x/y)+(x+y/z)≥2倍的(1/x)+(1 若x,y,z都是正实数,且x^2+y^2+z^2=1,则yz/x+xz/y+xy/z的最小值是多少? 一个数学竞赛不等式问题：正实数x,y,z满足2x+3y+4z=22,则2/x+3/y+9/z的最小值为?