初中几何题,正三角形中求线段长.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 04:30:14

初中几何题,正三角形中求线段长.
△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.

设∠FPC=α 则∠PNC=60- α ∠BPE=60-α ∠M= α
由正弦定理得：CN/sin(60+α)=5/sin(60-α ) BM/sin(120-α )=10/sinα
　　∵sin(120-α )=sin[180-(120- α )]=sin(60+α) ∴上述两式相除：
　　CN/BM=5sinα/(10sin(60-α)=3/4
　　sinα=3/2sin(60-α)=3/2(√3/2*cosα-1/2*sinα)
　　4sinα=3√3cosα-3sinα
tan α=3√3 /7
CN=5*(√3/2*cosα+1/2*sinα)/(√3/2*cosα-1/2*sinα)
　　 =5*(√3/2+1/2*tanα)/(√3/2-1/2*tanα)
　　 =5*(√3/2+3√3/14)/(√3/2-3√3/14)
　　 =5*(7√3+3√3)/(7√3-3√3)
　　 =12.5
AN=2.5
BN=√(15^2+12.5^2-2*15*12.5/2)=5√31/2
　　2.5/sin∠ABN=(5√31/2)/(√3/2)
sin∠ABN= √93/62 cos∠ABN=11√31/62
sin∠BGP=sin(∠ABN+∠BEG)= √93/62cos(60+α)+11√31/62sin(60+α)
BG=15sin(60-α)/sin∠BGP=15(√3/2*cosα-1/2*sinα)/[√93/62cos(60+α)+11√31/62sin(60+α)]
　　=15*62(√3-tanα)/[√93(1-√3tanα)+11√31 (√3+tanα)]
　　=15*62(7√3-3√3 )/[√93(7-√3*3√3 )+11√31 (7√3+3√3 )]
　　=10√31 / 9
∴NG=5√31/2-10√31 / 9=25√31 /18 ≈7.7330

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