求lim(x^2sin(1/x^2)/sinx) x-->0

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/28 21:49:35

求lim(x^2sin(1/x^2)/sinx) x-->0
用计算机算是0,但方法（1）：原式=lim[sin(1/x^2)/(1/x^2)*x/sin(x)/x]=lim(1/x)=无穷大方法（2）：原式=lim[(2xsin(1/x^2)+x^2*cos(1/x^2)*(-2)/x^3)/cos(x)]=无穷大
为什么答案会不一样?

lim（x->0）(x^2sin(1/x^2)/sinx)
=lim（x->0）(x^2sin(1/x^2)/(x)
=lim（x->0）xsin(1/x^2)
因为
lim(x->0)x=0,即为无穷小
而|sin(1/x^2)|≤1,即为有界函数
由性质,无穷小和有界函数的乘积为无穷小,所以
原式=0
再问：我的方法为什么不行？第一种是等价无穷小，第二种是洛必达法则。
再答： sin(1/x^2)/(1/x^2)这个的极限=0，而不等于1. 不是0/0
再问：第一个看懂了，但第二个没看懂。分子和分母的极限好像都是0.（分子无穷小和有界函数的乘积为无穷小，分母也为0）
再答：第二个：告诉我们不是所有题目都可以用罗比达法则的。你的用法是错的。
再问：我知道是错的，但不知道为什么这道题不能用，好像满足所有条件（极限存在且是0/0型）
再答：分子分母求导后比值的极限要存在啊本题根本不存在，所以要另外算，不能直接说明不存在。

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