搜搜考试网与环定义相关的问题证明
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 13:29:41
与环定义相关的问题证明
交换环定义为：集合R上定义加法和乘法,使得R中任何元素满足：
（1）加法交换律 （2）加法结合律（3）存在零元素0,使得集合中任何元素a,有a+0=0+a=a.(4)对集合中任何非零元素a,存在-a,使得a+(-a)=(-a)+a=0.
(5)乘法交换律（6）乘法结合律（7）存在单位元素1使的任何元素a,有a*1=1*a=a.(8)加乘结合律a(b+c)=ab+ac.
上述交换环定义中可以不要加法交换律,即由其他7条可以推出加法交换律成立,即若（2）-（8）的条件成立,则任意R中元素a,b都有a+b=b+a.
请问怎么证明啊?
交换环定义为：集合R上定义加法和乘法,使得R中任何元素满足：
（1）加法交换律 （2）加法结合律（3）存在零元素0,使得集合中任何元素a,有a+0=0+a=a.(4)对集合中任何非零元素a,存在-a,使得a+(-a)=(-a)+a=0.
(5)乘法交换律（6）乘法结合律（7）存在单位元素1使的任何元素a,有a*1=1*a=a.(8)加乘结合律a(b+c)=ab+ac.
上述交换环定义中可以不要加法交换律,即由其他7条可以推出加法交换律成立,即若（2）-（8）的条件成立,则任意R中元素a,b都有a+b=b+a.
请问怎么证明啊?
命题1：对任意R中元素c都有 c*0=0.——定义为性质(9)
证明：
对任意R中元素c都有 c*(0+0)=c*0+c*0,——性质(8)
但是0+0=0,——性质(3)
所以 c*0=c*0+c*0.
设c*0=d∈R,那么有 d=d+d.
由(4),d+(-d)=d+d+(-d),左端=0（由(4)）,右端=d+0（由(2)和(4)）,所以
0=d+0=d,也即c*0=0.
命题2：对任意R中元素c都有 c*(-1)=-c.——定义为性质(10)
证明：
c+c*(-1)
=c*1+c*(-1)——性质(7)
=c*(1+(-1))——性质(8)
=c*0——性质(4)
=0——性质(9)
因此 c*(-1)=-c.——性质(4)
对任意R中元素a,b都有-b+a∈R,于是(-b+a)*0=0
0 = (-b+a)*0 ——性质(9)
= (-b+a)*(1+(-1))——性质(4)
= (-b+a)*1+(-b+a)*(-1)——性质(8)
= 1*(-b+a)+(-1)*(-b+a)——性质(5)
= 1*(-b)+1*a+(-1)*(-b)+(-1)*a——性质(8)
= (-b)*1+a*1+(-b)*(-1)+a*(-1)——性质(5)
= -b+a+b+(-a)
上面等式最左端和最右端同时左加b,得到
b = b+(-b)+a+b+(-a)
= 0+a+b+(-a)——性质(2)(4)
= a+b+(-a)——性质(3)
上面等式最左端和最右端同时右加a,得到
b+a = a+b+(-a)+a
= a+b+0 ——性质(2)(4)
=a+b ——性质(3)
因此结论成立.
证明：
对任意R中元素c都有 c*(0+0)=c*0+c*0,——性质(8)
但是0+0=0,——性质(3)
所以 c*0=c*0+c*0.
设c*0=d∈R,那么有 d=d+d.
由(4),d+(-d)=d+d+(-d),左端=0（由(4)）,右端=d+0（由(2)和(4)）,所以
0=d+0=d,也即c*0=0.
命题2：对任意R中元素c都有 c*(-1)=-c.——定义为性质(10)
证明：
c+c*(-1)
=c*1+c*(-1)——性质(7)
=c*(1+(-1))——性质(8)
=c*0——性质(4)
=0——性质(9)
因此 c*(-1)=-c.——性质(4)
对任意R中元素a,b都有-b+a∈R,于是(-b+a)*0=0
0 = (-b+a)*0 ——性质(9)
= (-b+a)*(1+(-1))——性质(4)
= (-b+a)*1+(-b+a)*(-1)——性质(8)
= 1*(-b+a)+(-1)*(-b+a)——性质(5)
= 1*(-b)+1*a+(-1)*(-b)+(-1)*a——性质(8)
= (-b)*1+a*1+(-b)*(-1)+a*(-1)——性质(5)
= -b+a+b+(-a)
上面等式最左端和最右端同时左加b,得到
b = b+(-b)+a+b+(-a)
= 0+a+b+(-a)——性质(2)(4)
= a+b+(-a)——性质(3)
上面等式最左端和最右端同时右加a,得到
b+a = a+b+(-a)+a
= a+b+0 ——性质(2)(4)
=a+b ——性质(3)
因此结论成立.