关于三角不等式的一道解答题

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/08 19:54:48

关于三角不等式的一道解答题
在三角形ABC三边上存在DEF三个点构成△DEF.
且AD/AB=BE/BC=CF/CA=k（k＜1/2）
设△ABC的周长为p,△DEF的周长为q.
试证明：q＜（1-k）p
图在这里。

证明:
在AB,BC,AC上取点X,Y,Z,使得
BX/AB=CY/BC=AZ/AC=k
显见:
XE=kAC,YF=kAB,DZ=kBC
XD=(1-2k)AB,EY=(1-2k)BC,ZF=(1-2k)AC (kDE,EY+YF>EF,DZ+ZF>DF
也就是:
(1-2k)AB+kAC>DE
(1-2k)BC+kAB>EF
(1-2k)AC+kBC>DF
三式相加:
(1-k)(AB+BC+AC)>DE+EF+DF
也就是(1-k)p>q,得证

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